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Questions proposées aux élèves de Terminale S

1. Démontrer qu’il existe une infinité de triplets d’entiers naturels consécutifs, s’écrivant chacun comme somme de deux carrés.

2. Déterminer l’ensemble des fonctions f : R-→R, continues vérifiant pour tout (x,y) R² tel que x≠ y :

3. Soient ABC un triangle, G son centre de gravité et I le centre du cercle inscrit à ABC. On note a,b,c les longueurs respectives des côtés [BC],[CA] et [AB]. On suppose I ⁄ G. Montrer que (IG) est perpendiculaire à la bissectrice (IC)si et seulement si la moyenne arithmétique de a,b,c est égale à la moyenne harmonique de a et b. Qu’en est-il si I = G?

4. Soit M une matrice carrée de taille n à coefficients entiers inversible telle que M^-1 est aussi à coefficients entiers. On note N le nombre de coefficients impairs de M.

a) Montrer que : n ≤ N ≤ n² - n + 1.

b) Cet encadrement est-il optimal ?

Problème : combinatoire et probabilités

Introduction et notations

Soit n N \ . On note _n l’ensemble des permutations de . On observe la position initiale de n personnes rangées en ligne puis on effectue une permutation aléatoire de ces n personnes. Pour k , on note E_n,k l’événement ≪k des n- 1 paires de voisins initiaux se retrouvent comme paires de voisins dans la disposition finale ≫. Soit A(n,k) le cardinal de E_n,k, considéré comme le sous-ensemble de Ω = _n formé des permutations σ _n pour lesquelles exactement k valeurs de i sont telles que i et i + 1 sont consécutifs dans n’importe quel ordre dans la liste σ(1),σ(2),…,σ(n). Le but de ce problème est de déterminer ℙ et de montrer que lim _n→+∞ℙ = e^-2.

La partie I présente des résultats préliminaires de combinatoire et d’analyse appliqués dans la partie II qui traite le problème proprement dit.

Dans tout le problème, on note pour m N^* et l , _l, l’ensemble des parties de de cardinal l.

I. Préliminaires

1. Soient m, n, r des entiers naturels. Démontrer la formule dite de Vandermonde :

2. Soient n, p N^*. On note _p,n l’ensemble des applications strictement croissantes de dans et _p,n l’ensemble des (x₁,…,x_p) ^p tels que x ₁ + x₂ + + x_p = n.

a) Montrer que card = .

b) Établir une bijection de _p,n dans _p-1,n-1 et en déduire que card = .

3. Cette question propose un résultat fondé sur le principe d’inclusion-exclusion. Soit E un ensemble de cardinal N N^*. On suppose les éléments de E classés selon r propriétés notées α₁ , … , α_r . Soit B ⊂ ; on note N(B) le nombre d’éléments de E vérifiant les propriétés α_j pour j B. Si B = ∅, N(∅) = N ; on pose pour tout l :

s_l = N(B). De façon plus détaillée on a :

Pour B ⊂ , on note ν(B) le nombre d’éléments de E vérifiant les propriétés α_j pour j B et aucune des propriétés α_j pour j B = \ B. Pour l , on pose :

eℓ = ν(B).

Remarquer que e_l est le nombre d’éléments de E vérifiant exactement l des propriétés α₁,…,α_r et démontrer que

(*)

Ind. Considérer x E et étudier combien de fois est compté x dans le membre de droite de (*) selon le nombre de propriétés α₁,…,α_r qu’il vérifie exactement. On remarquera que :

= .

4. a) Montrer que pour tout x R et tout n N,

b) Montrer que : ∀n N, ∀x R, |R_n(x)|≤⋅

c) En déduire que pour tout x R, e^x = lim_n→+∞⋅

5. _kN étant une suite réelle, on s’intéresse à la série de terme général u_k, c’est-à-dire à la suite n u_k. On dit que la série de terme général u_k converge si et seulement si la suite n u_k converge ; dans ce cas, la limite de cette suite est appelée somme de la série et notée u_k .

Soit (a_k ) une suite d’applications de N dans R. On suppose que pour tout k N, la suite na_k(n) converge et a pour limite λ_k et qu’il existe α : N-→R₊, telle que :

• ∀k N , ∀n N, |a_k(n)|≤ α(k),
• la série de terme général α(k) converge,

a)

∙ Montrer que pour tout n N, la série de terme général _kN est convergente.

On note S(n) = lim_N→+∞a_k(n) = a_k(n), la somme de cette série.

∙ Montrer que la série de terme général λ_k est convergente.

b) Montrer que lim_n→+∞S(n) = λ_k, autrement dit que :

limn→+∞ak(n) = limn→+∞ak(n).

Ind. Considérer n₀ N tel que ∀k > n₀, α(k) < et remarquer que :

≤ + 2α(k) < + ⋅

II

On reprend la question posée dans l’introduction ainsi que les notations. Pour i , on note A_i l’ensemble des σ _n tels que i et i + 1 sont deux termes consécutifs dans n’importe quel ordre dans la liste σ(1),σ(2),…,σ(n) et l’on pose :

s_i = card et l’on convient que s₀ = n!.

1. Montrer en appliquant I-3 que :

2. Cette question a pour but de déterminer s_i.

a) Soit B _i () où i . On appelle composante de B tout sous-ensemble de B formé d’entiers consécutifs maximal⁷ pour l’inclusion. On suppose que B possède c composantes. Montrer que :

b) Pour m, i, c N tels que n ≥ m ≥ i ≥ c, on note u(m,i,c) le nombre de sous-ensembles B de de cardinal i ayant c composantes. Montrer que :

3. Soient m, i, c N^* tels que n ≥ m ≥ i ≥ c.

a) ∙ Montrer que tout B _i ayant c composantes est déterminé par la donnée du (2c + 1)-uplet d’entiers naturels (j₀,i₁,j₁,i₂,j₂,…,i_c,j_c) où i₁,i₂,…,i_c sont les cardinaux des composantes de B dans l’ordre où on les trouve, où pour l , j_l est le nombre d’entiers séparant les composantes de B de rang l et l + 1, j₀ est le nombre d’éléments de strictement inférieur à minB et j_c est le nombre d’éléments de strictement supérieurs à maxB.

∙ Vérifier que, ∀l , i_l > 0 et i₁ + + i_l = i, que j₀ ≥ 0, j_c ≥ 0 et que

b) En déduire en appliquant I-2 que u(m,i,c) = .

c) Montrer alors que :

4. On se propose de déterminer lim_n→+∞ℙ. Soit i N tel que i ≥ k. On pose :

a) Vérifier que ℙ = = a_ik(n).

b) Montrer que |a_i,k(n)|≤2ⁱ, puis que |a_i,k(n)|≤⋅

c) Montrer que lim_n→+∞a_ik(n) = (-1)^i-k⋅

d) En appliquant I-5, montrer que lim_n→+∞ = .

e) En déduire que :

5. Soit X_n la variable aléatoire indiquant le nombre de paires de personnes initialement voisines qui demeurent voisines après une perturbation aléatoire. On a montré⁸ en 4.e) que lim _n→+∞ℙ = e^-2⋅

a) Calculer E(X_n), l’espérance de X_n.

b) Déterminer lim_n→+∞E(X_n).

Solution de la question 2 proposée dans la RMS 129-1

Texte de la question 2. Soient a et b deux réels tels que a < b et f : [a,b]-→R, une fonction continue sur [a, b] et dérivable sur telle que f(a) = f(b) = 0.

Montrer que pour tout réel r, il existe c tel que fʹ(c) = r².

Solution. Soient r R et F : [a,b]-→R, xf(t)d t, la primitive de f nulle en a et g : [a, b]-→ R , xe^-rF(x)f(x).

• les hypothèses sur f assurent que g est continue sur [a,b] et dérivable sur .
• g(a) = g(b) = 0 car f(a) = f(b) = 0.

La fonction g vérifiant les hypothèses du théorème de Rolle, il existe c tel que gʹ(c) = 0. Or,

∀x , gʹ(x) = e-rF(x),

donc gʹ(c) = 0 si et seulement si fʹ(c) = r².

Ainsi, pour tout r R, il existe c tel que fʹ(c) = r².
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