[Questions-Reponses]

R977. On considère une fonction f : R R qui est la somme d’une série entière de rayon de convergence infini et qui n’est pas une fonction polynomiale. Est-il vrai que la famille (fn)n0 des itérés de f est libre ?

Dans l’exercice d’oral 31 corrigé dans RMS 129-3, on montre que la réponse est OUI pour la fonction cosinus. (Bernard Randé)

Réponse d’Alain Rémondière

La réponse est OUI.

Supposons par l’absurde que cette famille est liée. Il existe alors des entiers naturels n0 < n1 < ⋅⋅⋅ < nd, des réels a0,a1,,ad non nuls tels que

∑d
   akfnk(x) = 0
k=0
(1)

pour tout x réel. On note encore f le prolongement analytique de f à C ; cl1 est vraie aussi pour tout z de C .

On considère parmi ces combinaisons celles pour laquelle nd est minimal puis parmi celles-ci celles pour laquelle n0 est minimal. Il est clair que nd 2 car f n’est pas linéaire.

Montrons que n0 est nul. En effet sinon  d
∑
k=0akfnk-1(f(z)) = 0 pour tout z de C. Ainsi d
∑

k=0ak fnk -1 (u) = 0 pour tout u de f(C). L’image de f est un ouvert non vide de C. Par le principe des zéros isolés, l’égalité est vraie pour tout u de C et ceci contredit l’hypothèse de minimalité de nd .

Ainsi

      d∑
a0z +    akfnk- 1(f(z)) = 0
     k=1
(2)

pour tout z complexe, avec a00.

Supposons f(z1 ) = f(z2) = z3. Alors d’après cl2 il vient z1 = z2 car a0 n’est pas nul. Ainsi f est injective.

D’après le théorème de Picard, comme f est une fonction entière non polynomiale, tout complexe à l’exception éventuelle d’un seul admet une infinité d’antécédents par f. Il y a donc contradiction.


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