Résumé. On se propose de définir un centre métrique pour les convexes compacts non vides d’un espace vectoriel normé, et d’en déduire deux théorèmes de point fixe. On généralise ainsi en dimension quelconque le résultat établi dans [1] pour les espaces normés de dimension finie. Quelques exemples, applications et compléments sont donnés en exercices.

Abstract. Metric center of a compact convex set

The purpose of this article is twofold : we first define, for non-empty compact convex sets of a metric vector space, a notion of metric center. We then use this notion to obtain two fixed-points theorems, thus giving a generalization, in any dimension, of the result established in [1] in the finite dimensional case. Some examples, as well as some applications and possible extensions are given as exercises.

Mots-clés : convexe, compact, point fixe, isométries, mesure de Haar.

1.Cœur d’un compact convexe

Dans tout l’article, K est un convexe compact non vide d’un espace vectoriel normé (E,∥∥). On munit K de la distance définie à l’aide de la norme de E : d(x,y) = ∥x - y∥. Pour tout élément x de K, on note d_x l’application td(x,t) de K dans R. L’application d_x est 1-lipschitzienne et convexe ; on note ρ_K (x) son maximum : c’est le rayon de la plus petite boule fermée de centre x qui contient K.

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