R937. Posé dans 127-3. Suite de R876 (RMS 127-3).

Existe-t-il f : I → R où I est un intervalle entourant 0, nulle en 0 et dérivable, vérifiant f(x)1 + fʹ(x) = x² pour tout x de I ? Si une telle fonction existe, est-elle deux fois dérivable ? indéfiniment dérivable ? développable en série entière en 0 ? (RMS)

Voici une réponse complète. Certaines preuves ont été modifiées par la rédaction avec l’accord de l’auteur.

On note (E) l’équation différentielle

On appelle solution de (E) un couple (I,φ) où I est un intervalle non trivial de R, φ : I → R dérivable et vérifiant

(1)

pour tout x de I. On montrera :

On reprendra la question à ses débuts sans tenir compte des résultats obtenus dans la solution de l’exercice qui est à l’origine de la question.

1. Résultats préliminaires

1.1. Le problème de raccord

On note (E^* ) l’équation différentielle yʹ = -1 + .

Une solution de (E^*) ne s’annule pas ; elle est donc soit strictement positive soit strictement négative. On notera ⁺ (resp. ^-) l’ensemble des solutions maximales positives (resp. négatives) de (E^* ). Désormais on sous-entendra ≪ maximale ≫ quand on parlera de solution de (E^*). Par une récurrence immédiate, on montre que toute solution de (E^*) est indéfiniment dérivable.

Le théorème de Cauchy-Lipschitz s’applique à l’équation (E^*) en tout point du plan privé de l’axe des x. Pour tout point (x,y) tel que y≠0 il existe exactement un élément φ de tel que φ(x) = y. De plus l’intervalle de définition d’une solution de (E^*) est ouvert. Voici un résultat fort utile pour une solution φ de (E^*).

Une solution maximale f de l’équation (E) qui n’est pas solution de (E^*) est définie sur un intervalle I contenant 0 et est nulle en 0. Si I∩]0,+∞[ (resp. I∩] -∞,0[) n’est pas vide alors la restriction φ de f à cet intervalle est une solution maximale de (E^*) telle que la fonction φ (resp. ψ) prolongée par φ(0) = 0 (resp. ψ(0) = 0) est dérivable en 0 avec φʹ(0) = fʹ(0) (resp. ψʹ(0) = fʹ(0)).

Pour résoudre (E) on cherche donc les solutions de (E^*) dont 0 est une des deux extrémités de l’intervalle de définition puis on étudie leur dérivabilité en 0 et on raccorde éventuellement une solution définie à gauche de 0 avec une solution définie à droite de 0.

1.2. Variations des solutions

Voici une propriété qui exprime le rapprochement des graphes dans le sens des x croissants.

Soit φ un élément de ^-. Alors φʹ < 0 (et même φʹ < -1). Donc φ est strictement décroissante.

Pour étudier les variations des éléments de ⁺ on aura besoin de la proposition suivante.

Démonstration.La dérivée seconde de φ vérifie :

(2)

Soit x tel que φʹ(x) = 0, alors φ(x) = x² et, d’après derpremiere, x n’est pas nul donc φʹʹ(x) = . Si x < 0 (resp. x > 0) alors φʹʹ(x) < 0 (resp. φʹʹ(x) > 0) et, localement, φʹ est strictement positive (resp. négative) à gauche de x et strictement négative (resp. positive) à droite de x.

Ainsi les zéros de φʹ sont des points isolés et deux zéros consécutifs de φʹ ne peuvent être de même signe. Le reste s’en déduit aisément. __

Dans la suite, on considère une solution φ de (E^*). On donne α et β les extrémités de son intervalle de définition. Dans tous les cas φ est monotone au voisinage de α comme de β ; elle admet donc des limites finies ou non : λ en α et μ en β.

Avant de décrire complètement les variations de φ suivant les cas, on établit quelques lemmes utiles. Les preuves des trois premiers sont faites pour l’extrémité gauche mais conviennent tout aussi bien pour l’extrémité droite.

On peut maintenant préciser les variations des solutions.

On notera désormais, pour 0 ≤ i ≤ 2, l’ensemble des solutions positives dont la dérivée s’annule exactement i fois. L’ensemble n’est pas vide car il contient toute solution φ dont le graphe passe par (0,y) pour un certain y > 0.

1.3. Les fonctions φ_α et ψ_α

Pour toute solution φ de (E^*), notons A(φ) le réel α qui est l’extrémité gauche de l’intervalle de définition de φ.

On établira, pour tout α réel, l’existence et l’unicité d’une solution positive φ et d’une solution négative ψ telles que A(φ) = A(ψ) = α.

Soit deux solutions φ₁ et φ₂ de même signe et telles que A(φ₁) = A(φ₂). D’après la proposition |φ₂ - φ₁ | décroît et a une limite nulle en A(φ₁), donc φ₂ = φ₁. Ainsi il existe au plus une solution φ > 0 telle que A(φ) = α ; on la note alors φ_α. Il existe au plus une solution ψ < 0 telle que A(ψ) = α; on la note alors ψ_α.

Montrons maintenant l’existence de φ_α et ψ_α pour tout α non nul.

Notons (i, j) la base canonique de R². Considérons le champ de vecteurs défini sur R² par

Soit α un réel non nul. On peut appliquer le théorème de Cauchy-Lipschitz en (α,0) pour construire une courbe intégrale

du champ telle que Φ_α(0) = αi. On a Φ_αʹ(0) = V(α,0) = α²j et en particulier, Y ʹ_α(0) > 0. Donc, sur un intervalle ] - τ,τ[, la fonction Y _α est strictement croissante ; pour 0 < t < τ, on a Xʹ_α (t) = Y _α (t) > 0 et pour - τ < t < 0,Xʹ_α(t) < 0.

Ainsi X_α induit un ^∞-difféomorphisme X de ]0,τ[ sur l’intervalle ]α,X_α(τ)[ et un autre ^∞ -difféomorphisme X de ] - τ,0[ sur l’intervalle ]α,X_α(-τ)[. La fonction

se prolonge en une solution positive de (E^*) qui n’est autre que φ_α et la fonction Y _α • X ^-1 :]α, X_α(-τ)[→ R se prolonge en une solution négative de (E^*) qui n’est autre que ψ_α .

Remarquons que cette méthode permet de retrouver, pour α non nul, l’unicité de φ_α et de ψ_α .

L’existence de φ₀ et de ψ₀ sera vue ultérieurement. Si α ≥ 0 alors φ_α est dans ; on en déduit que n’est pas vide.

1.4. Convexité

Soit φ une solution de (E^*), définie sur ]α,β[. Pour étudier sa convexité on utilise la relation suivante :

(3)

D’après cette relation, si φʹʹ(x) = 0 alors φ⁽³⁾(x) = . Si φ est négative (resp. positive) alors φ⁽³⁾ (x) < 0 (resp. φ⁽³⁾(x) > 0), donc φʹʹ > 0 (resp. φʹʹ < 0) à gauche de x et φʹʹ < 0 (resp. φʹʹ > 0) à droite de x.

Ainsi tout zéro de φʹʹ est isolé et il ne peut y avoir deux zéros consécutifs donc φʹʹ s’annule au plus une fois. Plus précisément :

En particulier, si α < 0 < β, c’est-à-dire si φ = ψ_α avec α < 0 ou φ est élément de alors 0 est l’unique zéro de φʹʹ. En effet φʹ(0) = -1 et φʹʹ(0) = 0 d’après derseconde.

On déduit du lemme que φʹ est monotone au voisinage de α comme de β et y admet donc des limites finies ou non. Il est immédiat d’après derpremiere que si α n’est pas nul alors la limite en α de φʹ est + ∞ si φ est positive et -∞ si φ est négative.

Dans le cas où β = +∞, on montre que φʹ tend vers ±∞ quand x tend vers + ∞. En effet, sinon, par l’absurde, φʹ(x) = m + o(1) en + ∞ pour un certain réel m, puis

c’est contradictoire. Ainsi, à l’exception des éléments de les graphes des solutions de (E^*) admettent une branche parabolique de direction (Oy). De plus,

Supposons maintenant : α = 0 ou β = 0 et étudions la limite en 0 de φʹ. Notons m cette limite.

D’abord m est finie car si m = ±∞, alors φ(x) = o(x²) en 0 et m = 0 : c’est contradictoire. Puis : m(m + 1)x + o (x) = x² donc m = 0 ou m = -1. Ainsi :

On peut maintenant préciser la convexité des solutions. Dans l’énoncé suivant, on admet provisoirement l’existence de φ₀ et de ψ₀. Les fonctions φ_α et ψ_α sont prolongées par continuité en α. Si φ_α est dans on la prolonge également par continuité en 0 ; là aussi l’existence de tels α n’est pas encore prouvée. Certains résultats établis ci-dessus sont rappelés dans l’énoncé.

2. Solutions de (E) développables en série entière en 0

On procède de la manière usuelle. On considère une série entière formelle S(X) = u_nXⁿ. Elle est solution dans R[[X]] de l’équation S(X)1 + Sʹ(X) = X² si et seulement si

et pour tout n ≥ 3 :

(4)

En particulier, u₁ vaut 0 ou - 1.

2.1. Le cas u₁ = 0

Si u₁ = 0 alors u₂ = 1. On note désormais (a_n)_n≥0 la suite donnée par

et la relation de récurrence rec1. On a donc pour n ≥ 3

(5)

Cette suite jouera un rôle important plus loin.

Montrons que la série entière associée a un rayon de convergence nul. On constate que a_n est du signe de (-1)ⁿ pour tout n ≥ 2. Ainsi, pour tout n ≥ 3, on a :

|an| = (n - q)|aq+1||an-q|.

Donc pour tout n ≥ 3, on a : |a_n|≥ (n - 1)|a_n-1| ; par récurrence immédiate il vient : |a_n | ≥ (n - 1)! pour tout n ≥ 2. Il en résulte que la série a_nxⁿ a un rayon de convergence nul.

Il n’existe donc pas de solution φ développable en série entière en 0 telle que φ(0) = 0 et φʹ(0) = 0.

2.2. Le cas u₁ = -1

On prouve maintenant :

Démonstration.

La relation de récurrence rec1 donne u₂ = -, puis s’écrit, pour n ≥ 3,

(6)

Ces relations définissent une unique suite (u_n). Montrons que le rayon de convergence de cette série entière n’est pas nul.

On voit de suite que pour tout n ≥ 2, u_n est du signe de (-1)^n-1. Ainsi, pour tout n ≥ 3, on a :

|un| = |uq+1||un-q|.

Considérons la fonction g : x pour x≠0 et g(0) = 1⁄2 ; g est développable en série entière g(x) = uʹ_nxⁿ avec un rayon de convergence égal à 1⁄2.

Par ailleurs, g vérifie la relation

xg(x)2 - g(x) + = 0

pour |x| < 1⁄2. En remplaçant g(x) par son développement, on obtient les relations uʹ₀ = et, pour tout n ≥ 1,

uʹn = uʹpuʹq.

Une récurrence facile donne |u_p+2|≤ uʹ_p pour tout p. La série entière u_nzⁿ a donc un rayon de convergence au moins égal à 1⁄2. Sa somme définie sur un intervalle contenant ] - 1⁄2,1⁄2[ est solution de (E) sur cet intervalle. __

2.3. Fin de la démonstration du théorème

Notons S la fonction xu_nxⁿ définie sur un certain intervalle ] - R,R[ où R est le rayon de convergence de cette série entière dont on a vu qu’il était au moins égal à 1⁄2. Elle est solution (non maximale) de (E) et vérifie S(0) = 0 et Sʹ(0) = -1.

La restriction à [0,R[ de S admet pour prolongement l’élément ψ₀ de ^- dont on prouve ainsi l’existence. Son unicité est déjà acquise.

La restriction à ] - R,0] de S admet pour prolongement un élément φ de . On note α₀ le réel strictement négatif tel que φ = φ_α0. La proposition suivante montre que α₀ est le seul réel α tel que φ_α est dans avec φ_αʹ(0) = -1, ce qui achèvera la preuve du théorème .

En raccordant φ_α0 avec ψ₀ on obtient la fonction f₀ annoncée dans le théorème dont la preuve est complète. Cette fonction f₀ est de plus strictement concave.

La proposition montre en outre que l’ensemble des φ de de dont la dérivée en 0 est nulle n’est pas vide et que c’est même l’ensemble évidemment infini des φ_α où α₀ < α < 0. L’ensemble est celui des φ_α où α < α₀.

3. Les solutions g nulles en 0 et de dérivée nulle en 0

Pour établir l’existence de φ₀ on établit la proposition suivante.

L’existence et l’unicité de φ₀ sont maintenant établies. Cette fonction est de classe ¹ et vérifie φʹ₀ (0) = 0. Elle se raccorde en 0 avec φ_α pour un α quelconque de ]α₀,0[ pour constituer une solution g de (E) qui est ¹ et de dérivée nulle en 0, c’est-à-dire un élément de Γ décrit dans le théorème .

Pour compléter la preuve de ce dernier théorème on va établir :

On fixe un α strictement entre α₀ et 0. On note g l’élément de Γ associé. Par hypothèse g est ¹ en 0 et gʹ(0) = 0. On pose, pour n ≥ 2,

Sn(x) = a2x2 + + a nxn,

puis :

où μ est un réel non nul. Rappelons que les (a_n) ont été définis dans la sous-partie .

La preuve du théorème va dépendre des deux propositions suivantes.

Démonstration.

D’après les calculs faits en sous-partie pour définir la suite (a_n), on a :

Sn(x)(Sʹn(x) + 1) - x2 = (xn+1).

On pose

Tn(x) = Σn(x)(Σʹn(x) + 1) - x2,

de sorte que

Σʹn(x) = -1 + .

On a : T_n (x) = S_n(x)[Sʹ_n(x) + 1] -x² + μxⁿSʹ_n(x) + nμx^n-1S_n(x) + μxⁿ + nμ²x^2n-1, ce qui donne :

Tn(x) = μxn + o(xn).

Notons v_n la fonction g - Σ_n. On a : vʹ_n(x) = gʹ(x) - Σʹ_n(x), ce qui donne :

vʹn(x) = -vn(x) -.

La fonction h : x est définie dans un ensemble de la forme Ω =] - k,0[∪]0,k[ avec k > 0. Notons H une primitive de h sur chacun de ces intervalles. La dernière équation s’écrit ʹ = -e^H donc, pour s,t de même signe et vérifiant t < s on a

(7)

On doit maintenant distinguer deux cas.

a) On se place sur ] - k,0[. On fixe t.

En 0, g(x) et Σ_n (x) sont équivalents à x², donc h(x) à 1⁄x² et H(x) à - 1⁄x. Puis : T_n (x)⁄Σ_n (x) est équivalent à μx^n-2. Donc l’intégrale figurant dans () diverge vers ±∞ quand s tend vers 0 à gauche.

⊳ On prend μ = a_n. Alors μx^n-2 > 0 pour x < 0, l’intégrale diverge vers + ∞ donc lim_s→0^- e^H(s) v_n (s) = -∞. On dispose donc d’un τ₁ > 0 tel que -τ₁ < s < 0v_n(s) < 0, soit encore g(x) < S_n(x) + a_nxⁿ pour - τ₁ < x < 0.

⊳ On prend maintenant μ = -a_n. Alors μx^n-2 < 0 pour x < 0. Le même raisonnement fournit un τ₂ > 0 tel que - τ₂ < s < 0v_n(s) > 0 donc g(x) > S_n(x) - a_nxⁿ = S_n-1(x) pour - τ₂ < x < 0.

Finalement, dans un intervalle de la forme ] - τ,0[, τ > 0 on a

Donc g admet un développement limité, à gauche de 0, à l’ordre n - 1 donné par

g(x) = S_n-1 (x) + o(x^n-1).

b) On se place sur ]0,k[ et on fixe s.

Cette fois, lim _t→0⁺e^H(t) = 0 et on a toujours T_n(x)⁄Σ_n(x) ~ μx^n-2. Dès lors, (e^Hv_n)ʹ est du signe de - μ dans un intervalle de la forme ]0,τʹ₁[. D’autre part, la fonction e^Hv_n, prolongée par continuité, s’annule en 0.

⊳ On prend μ = 1. e^Hv_n décroît dans ]0,τʹ₁[ donc v_n(x) < 0 pour x dans cet intervalle ce qui donne g(x) < S_n (x) + xⁿ.
⊳ On prend ensuite μ = -1. e^Hv_n croît dans ]0,τʹ₁[ donc v_n(x) > 0 dans cet intervalle ce qui donne g(x) > S_n (x) - xⁿ.

Finalement, dans un intervalle de la forme ]0,τʹ[ on a

Donc g admet un développement limité, à droite de 0, à l’ordre n - 1 donné par

g(x) = S_n-1 (x) + o(x^n-1).

Comme n est arbitraire, le résultat est établi. __

Démonstration.La démonstration se fait par récurrence sur p, le résultat étant établi pour p = 0.

On suppose le résultat établi pour tous les entiers inférieurs ou égaux à p. On suppose donc que, pour tout n, on a g^(k)(x) = S(x) + o(xⁿ) pour 0 ≤ k ≤ p. On dérive p fois la relation g(x)gʹ(x) + g(x) - x² = 0. On pose A(x) = x². Il vient :

donc en utilisant l’hypothèse de récurrence

(8)

La série formelle S(X) = a_qX^q vérifie S(X)Sʹ(X) + S(X) - X² = 0. On en déduit

Or S^(k) (X) ≡ S(X) mod Xⁿ⁺¹ donc

(9)

donc, en retranchant () de () :

Or = 1 + o (x^n-2) et S(x) = S(x) + o(x^n-2). On a donc le développement limité attendu de g^(p+1) à l’ordre n - 2. L’entier n étant quelconque, ceci achève la récurrence. __

Le théorème en résulte puisque pour tout p de N, lim_x→0g^(p)(x) = S(0) = p!a_p.

5. L’égalité R = -α₀

On reprend les notations de la sous-partie . Puisque S admet f₀ pour prolongement, on a R ≤|α₀|. Une étude numérique montre : α₀ ≈-0.86 ; d’autres études numériques (règle de d’Alembert, règle de Cauchy) aboutissent à des valeurs voisines de - 0.86.

On montre à présent :

On utilise pour cela le prolongement analytique de S dans le plan complexe. Le premier théorème assure l’analyticité des solutions de (E^*) prolongées dans l’ouvert C × C^*.

On en trouvera par exemple la preuve dans le livre de H. Cartan, Théorie élémentaire des fonctions analytiques d’une ou plusieurs variables complexes, p. 214 et suivantes.

La fonction F : (X,Y )- 1 + est manifestement analytique dans Ω. D’après le théorème , toutes les solutions de l’équation (E) : Y ʹ = -1 + sont analytiques.

On revient maintenant à la fonction S ; on note encore S la fonction z_n≥1u_nzⁿ, définie dans le disque ouvert {z C||z| < R}.

Raisonnons par l’absurde et supposons R < |α₀|. Pour tout x de ] -R,0[ on a S(x) = f₀(x) donc S admet en - R une limite finie b = f₀(-R) et cette limite n’est pas nulle.

Posons S₁ (z) = _n≥2|u_n|zⁿ. Le rayon de convergence de cette série entière est R. On applique un autre résultat adapté à ce type de fonction.

Un énoncé équivalent figure en exercice dans le livre de Walter Rudin, Analyse réelle et complexe, p. 380.

La fonction S₁ n’admet donc pas de prolongement analytique autour de R. Mais comme S(x) = -x - S₁ (-x) la fonction S n’admet pas de prolongement analytique autour de - R.

Appliquons le théorème au point (a,b) = (-R,f₀(R)). On dispose donc d’un voisinage U de -R dans C et d’une fonction analytique Φ : U → C solution de (E) dans U. On peut supposer que U est un disque. La restriction à U ∩ R de Φ vérifie

et est à valeurs réelles d’après le point 2) du théorème . Ainsi Φ(x) = S(x) sur un certain intervalle ] - R, -R + h[ avec h > 0. Les fonctions Φ et S sont analytiques donc Φ(z) = S(z) pour tout z de l’ouvert convexe U ∩ D.

Ceci contredit que - R soit un point singulier pour S. Donc R = -α₀.

Autres réponses

Dans sa réponse partielle Jérôme Demange prouve l’existence et l’unicité d’une solution g de (E) définie sur ] - 1⁄2,+∞[ et telle que g(0) = 0 et gʹ(0) = -1 en la construisant par itération. Il prouve ensuite qu’elle est ^∞ et qu’elle développable en série entière sur ] - 1⁄4,1⁄4[ par une méthode semblable à celle de la réponse ci-dessus.

Dans sa réponse partielle Omar Sonebi montre que si g est solution de (E) telle que g(0) = 0 alors elle n’est pas développable en série entière si gʹ(0) = 0. Dans le cas où gʹ(0) = -1, il montre que g est développable en série entière par une méthode très différente de celle que nous avons vue et dont voici un résumé.

Reprenons la suite (u_n) de la sous-partie . On a :

On cherche par récurrence une majoration |u_n|≤ pour tout n ≥ 2. Il faut donc Mr ≥ 2 et la preuve par récurrence fonctionne si

On montre que la suite (A_n) est majorée. Notons α un majorant. Prenons M = 1⁄α, puis r = 2⁄M = 2α. On montre ainsi que, puisque les séries Σu_nxⁿ et Σn²u_nrⁿ ont même rayon de convergence R, ce dernier est minoré par 1⁄(2α).

Une étude détaillée montre que la méthode d’Omar Sonebi conduit à une minoration :

Après décomposition en éléments simples de la fraction on obtient l’expression exacte :

La limite de A_n est donc A = ζ(2) - 1. Mais A n’est pas le sup de (A_n). En effet A_n = A + ρ_n où

et ρ_n ~ . Donc A_n > A pour n assez grand. On majore :

L’étude numérique montre que la suite (ρʹ_n) atteint son maximum pour n = 7, la valeur de ce maximum étant 0.11157… ; on a A = 0.64493…, donc on prend α = 1.7565 et = 0.66094.

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