Q1003. On montre classiquement qu’un polynôme P à coefficients réels ne prenant que des valeurs positives s’écrit sous la forme A² + B² où A et B sont dans R[X]. Trouver des conditions nécessaires et des conditions suffisantes pour qu’un polynôme Q à coefficients rationnels s’écrive sous la forme A² + B² où A et B sont dans Q[X]. (Flavien Mabilat)

Q1004. Soit A _n(R). On note S(A) l’ensemble des matrices semblables à A, N(A) = tr (t AA), f(A) = inf _BS(A)N(B) puis χ(A) = {B S(A)|N(B) = f(A)}.

a) Déterminer f(A) et χ(A) dans le cas où A est diagonalisable

b) Traiter exhaustivement le cas de la dimension 2.

c) Que dire de plus ? (Alain Rémondière)

Q1005. Soit α ]0,1]. Pour tout n ≥ 1, on pose :

Pour α = 1, il est assez facile de déterminer le terme général de la série produit de Cauchy des deux séries Σu_n et Σv_n et de montrer qu’elle est convergente.

a) Pour α = 1, étudier la nature de la série produit de la série Σu_n par elle-même et de la série produit de la série Σv_n par elle-même.

b) Et que dire de ces trois séries produits lorsque α ]0,1[ ? (Bernard Brighi)

Q1006. On donne dans le plan affine réel cinq points A₁,B₁,C₁,D₁,E₁, trois à trois non alignés. On construit les points suivants, éventuellement à l’infini : A₂ intersection des droites (B₁ D₁ ), (C₁ E₁ ) ; B₂ intersection de (C₁E₁), (D₁A₁), et de même C₂,D₂,E₂ par permutation circulaire.

a) Montrer que A₂,B₂,C₂,D₂,E₂ sont trois à trois non alignés.

En itérant la construction on obtient des suites de points (A_n)_n,(B_n)_n,…,(E_n)_n.

b) On suppose que le pentagone initial A₁B₁C₁D₁E₁ est convexe. Montrer que les cinq suites convergent vers un même point. (Denis Lepelletier)

Q1007. On considère l’équation fonctionnelle : (E) fʹ(t) = f(t - t²).

On sait que l’ensemble des fonctions définies sur [0,1], dérivables et solutions de (E) est un espace vectoriel de dimension 1. On note f l’unique solution sur [0,1] telle que f(0) = 1.

a) Existe-t-il une solution g de E définie sur un intervalle incluant strictement [0,1] et prolongeant f ?

b) La fonction f est-elle développable en série entière en 0 ? (Marcin Pulkowski)
[Questions-Reponses]