[Table des matières]

Deuxième Épreuve 2020

7047Différentiabilité de la distance à une partie

Résumé

Le problème porte sur la distance à une partie fermée non vide F d’un espace euclidien. L’hypothèse que la dimension est finie permet de s’appuyer sur la compacité. La différentiabilité de la fonction distance à F est l’un des thèmes principaux. Le résultat le plus intéressant est une condition nécessaire et suffisante de différentiabilité de cette fonction en un point du complémentaire de F ; il fait l’objet de deux des dernières parties. Notons que, puisqu’on caractérise en termes de différentiabilité les parties F telles que, pour tout x dans E, il existe un unique y de F réalisant la distance de x à F, un théorème de Motzkin bien connu entraîne que cette caractérisation est celles des convexes de E.

L’épreuve a dû bien sélectionner les candidats, car elle est progressive. Elle est néanmoins trop longue. La partie VI oppose en outre quelques difficultés.

Le problème est élémentaire, assez approprié aux candidats à l’agrégation interne et manifestement rédigé par des gens légèrement pressés. Par exemple, pour montrer que la norme euclidienne n’est pas différentiable en 0, il aurait suffit de montrer que sa restriction à une droite vectorielle n’est pas dérivable. Il y a quelques petites erreurs (il faut supposer n ≥ 2 dans la question 18, d’ailleurs guidée par un chien d’aveugle lui-même aveugle) ou incongruités. Si l’on voulait à tout prix faire montrer au candidat que la série converge, il aurait été préférable de le lui demander lors d’une question préliminaire, avant de lui faire utiliser l’égalité de Parseval, qui contient cette convergence. Les questions 12 et 13 sont au moins ambiguës, puisque le statut des bornes n’est pas précisé.

Partie I : résultats préliminaires

1. ∙ Si x F, comme ∥x - x∥ = 0, on a d(x,F) = 0.

∙ Si d(x, F) = 0, par définition de l’infimum, il existe une suite (f_n)_n≥0 F^N telle que ∥x - f_n ∥ → d(x,F) = 0. Donc f_n → x et, comme F est fermé, x F .

2. a) On a d(y, F) ≤∥y - f∥≤∥y - x∥ + ∥x - f∥.

b) Par passage à l’infimum sur f F , on obtient que d(y,F) ≤∥y - x∥ + d(x,F) et donc que

Par symétrie, d(x,F) - d(y,F) ≤∥y - x∥ et finalement d(y,F) - d(x,F)≤∥y - x∥.

3. a) L’ensemble K, qui contient x₀, est fermé, comme intersection de fermés, et borné, car inclus dans une boule. Comme E est de dimension finie, il est compact.

b) La fonction xd(x,F) est continue, car lipschitzienne, et réalise donc son minimum sur le compact K, en un point y. On a donc, pour tout f K, ∥x - y∥≤∥x - f∥. En particulier, ∥x - y∥ ≤ ∥x - x₀∥. Si f F et f ⁄ K, on a ∥x-f∥ > ∥x-x₀∥≥∥x-y∥. Finalement, pour tout f F, ∥x - y∥≤∥x - f∥, et donc y Γ(x).

4. a) On a

b) Posons d := d(x,F). On a donc ∥f - x∥ = ∥fʹ- x∥ = d. Par application de la question a,

Donc

Donc < d.

Nous avons vu que Γ(x) n’est pas vide. De plus, si f et fʹ sont dans Γ(x), F par convexité de F. Ce qui précède montre que f ne peut être différent de fʹ. Donc Γ(x) est un singleton.

c) ∙ On peut écrire, en posant a := f - π(x) et b := π(x) - x,

Donc φ est une fonction polynomiale de degré au plus 2.

∙ Pour t [0, 1], puisque (1 - t)π(x) + tf F , on a φ(t) ≥ d² = φ(0). Donc φ réalise en 0 son minimum sur [0, 1], ce qui entraîne que φʹ(0) ≥ 0, soit 2⟨a,b⟩≥ 0, ou encore

d) On a en particulier

D’autre part, d’après c,

Par somme,

soit ∥π(x) - z∥² ≤ 0, ce qui entraîne que z = π(x).

Partie II : étude en dimension 1

5. On a bien entendu d_{0}(x) = |x|. Donc d_{0} est non dérivable en 0, et dérivable sur R^*, de dérivée en x égale à = sgn x.

6. Le complémentaire de Z est la réunion des ]n,n + 1[, lorsque n décrit Z, donc est ouvert dans R. Ainsi, Z est fermé dans R.

7. On a d_Z (x + 1) = min|x + 1 - z| = min|x - u| = d_Z(x), grâce à la réindexation u = z - 1. De plus,

grâce à la réindexation u = -z. Donc d_Z est paire.

8. Si x , x ≤|x - n| pour n Z. En effet, si n ≥ 1, |x - n| = n - x et on a bien 2x ≤ 1 ≤ n, et si n ≤ 0, on a bien x ≤ x - n. Donc d_Z(x) = |x - 0| = x.

Si x , alors 1 - x ]0,] et donc, par parité et 1-périodicité,

9. La fonction d_Z est manifestement dérivable en tout point de ∪. Elle n’est pas dérivable en , puisque ses dérivées à gauche et à droite sont différentes. Elle n’est pas dérivable en 0, puisque sa dérivée à droite vaut 1 et donc, par parité, sa dérivée à gauche est égale à - 1.

10. a) Puisque d_Z (notée ici f) est paire, b_n(f) = 0 et, pour n ⁄= 0,

Donc a_n (f) = 0 si n est pair et a_2p+1(f) = -.

Enfin, a₀ (f) = 2t d t = [t²] = .

b) Comme f est de classe ¹ par morceaux et continue, elle est somme de sa série de Fourier, la convergence de cette dernière étant normale, donc uniforme et simple.

c) ∙ On a, pour tout x dans R,

la convergence de cette série étant assurée par la question b. En particulier, puisque f(0) = 0, soit = . De plus, puisque la série est positive convergente, en notant S sa somme, d’où S = .

∙ D’après l’égalité de Parseval,

la série de droite étant convergente. On obtient ainsi

Donc

De plus, puisque la série est positive convergente, en notant T sa somme,

et donc T = . Enfin, = - 1.

11. a) La relation ~ est évidemment symétrique. Elle est réflexive puisque, si x Ω, il existe ]a, b[ contenant x et inclus dans Ω, par définition d’un ouvert. Supposons à présent que x ~ y et y ~ z. Soit ]a,b[⊂ Ω contenant x et y, ]c,d[⊂ Ω contenant y et z. En particulier, ]a, b[∩]c, d[ est non vide, comme contenant y, et donc ]a,b[∪]c,d[ est un intervalle, ouvert comme réunion de deux ouverts. Il contient x et z et est inclus dans Ω. Donc ~ est transitive.

b) Nous savons que les classes d’équivalence forment une partition de Ω. Montrons que la classe de x est un intervalle ouvert. Pour tout y dans cette classe, il existe ]a(y),b(y)[ inclus dans Ω et contenant x et y. Donc cl(x) ⊂∪]a(y),b(y)[. D’un autre côté, si z ]a(y),b(y)[, z ~ x, donc z cl (x). Donc cl(x) = ∪]a(y),b(y)[. Comme réunion d’intervalles ouverts contenant tous x, cl (x) est un intervalle ouvert. Notons que cet intervalle est de la forme ]a,b[ avec - ∞ ≤ a < b ≤ +∞.

c) À chaque classe d’équivalence C, associons un rationnel q_C y appartenant. Puisque deux classes distinctes sont disjointes, Cq_C est injective. Comme Q est dénombrable, l’ensemble des classes est dénombrable (au sens large). En notant i = pour tout i I, on obtient alors le résultat voulu.

12. a) Remarquons que, si a_i0 R, a_i0 F , faute de quoi il serait dans Ω, ouvert, et il existerait ϵ > 0 tel que ]a_i0 -ϵ,a_i0 + ϵ[⊂ Ω. Par conséquent, cet intervalle rencontrerait cl(x), en un point y, et tous les éléments de ]a_i0 - ϵ,a_i0 + ϵ[ seraient dans cl(y) = cl(x). En particulier, a_i0 cl (x) =]a_i0 ,b_i0[, ce qui est une contradiction. De même, b_i0 F lorsque b_i0 est réel

Il en résulte manifestement, comme dans la question 8, que

b) Puisque ]a_i0 , b_i0[ est ouvert, la dérivabilité de d_F en x équivaut à la dérivabilité en x de la restriction de d_F à ]a_i0,b_i0[. Par conséquent, d_F est dérivable en x si et seulement si x ⁄= lorsque les deux bornes sont réelles. Dans le cas contraire, d_F est dérivable en tout point de ]a_i0 , b_i0 [.

13. Comme d_F est nulle sur un voisinage de x, elle est dérivable en x, de dérivée nulle.

14. a) De ce que l’adhérence du complémentaire de F est égale à ] -∞,0] ∪ [1,+∞[, on déduit que Fr (F) = {0,1}. La fonction d_F est nulle sur [0,1], donc sa dérivée à droite en 0 est nulle. Sur ] -∞,0], d_F(x) = -x, donc la dérivée à gauche en 0 est égale à - 1. Donc d_F n’est pas dérivable en 0. De même, elle n’est pas dérivable en 1.

b) (i) Comme Ω est ouvert, F est fermé. De plus, 0 < - < ≤, donc Ω ⊂]0,[. En particulier, 0 F. Mais - → 0, donc 0 est adhérent à Ω. Ainsi, 0 Fr(F).

(ii) Il s’agit de montrer que les intervalles définissant Ω sont disjoints, c’est-à-dire l’inégalité ≤ -. Cette inégalité équivaut à

soit n² - n - 1 ≥ 0, ce qui est vérifié pour n ≥ 2. On dispose ainsi d’un unique entier n ≥ 2 tel que - < x < , et ce qu’on vient de montrer assure alors que < x < , donc n < < n + 1, ce qui entraîne n = .

(iii) Si x F, l’inégalité est évidente pour toute valeur de C. Dans le cas contraire, x appartient à un unique intervalle . Or F , donc

∙ Puisque d_F (x) =_x→0⁺o(x), d_F est dérivable à droite en 0, de dérivée à droite nulle. Comme, par ailleurs, d_F est nulle sur ] -∞,0], d_F est dérivable en 0

Partie III : étude de cas particuliers en dimension n

15. a) On a évidemment d_F(x) = ∥x - x₀∥, et Γ(x) = {x₀}.

b) On considère une base orthonormée (e_i)_1≤i≤n de E et l’on note, lorsque x E, x_i := ⟨x,e_i⟩. Puisque g(x) = (x_i - x_0i)², g est polynomiale, donc de classe ^∞. De plus, (x) = 2(x_i - x_0i). Donc (∇g)(x) = 2(x - x₀).

c) Puisque x est de classe ^∞ sur ]0,+∞[, d_F est, par composition, de classe ^∞ sur l’ouvert E - {x₀ }. De plus, g(x) = (d_F(x))², donc

et donc

d) ∙ Par définition de la différentiabilité,

Donc

∙ On obtient ainsi

Divisant par t > 0, puis par t < 0, et faisant tendre t vers 0, on obtient que ∥h∥ = 0, ce qui est une contradiction en considérant un vecteur h non nul.

16. a) On sait que la distance de x à F est réalisée pour l’unique vecteur y de F tel que x - y F^⊥ , et que ce vecteur y est le projeté orthogonal de x sur F .

b) Soit (e_i )_1≤i≤p une base orthonormée de F , complétée en une base orthonormée (e_i)_1≤i≤n de E. Alors

et donc

Comme application polynomiale, d est de classe ^∞ et (dans la base (e_i)),

Par conséquent, (∇d)(a) = 2(a - π(a)).

c) Comme ci-dessus, d_F est de classe ^∞ sur E - F , et

d) ∙ Soit h F^⊥ . On utilise à nouveau

Comme d_F (a + th) = ∥a + th - π(a + th)∥ = ∥th∥, on obtient que

Divisant par t > 0 et faisant tendre t vers 0, on obtient que ∥h∥ = ⟨u,h⟩.

∙ En appliquant ce qui précède à - h, on obtient que h = 0, ce qui est une contradiction, puisque l’on peut choisir h ⁄= 0 dans F^⊥.

17.

a)

b) Puisque (x, y)-y et (x,y)y -x² sont polynomiales, donc continues, l’image réciproque de [0, +∞[ par chacune de ces fonctions est un fermé de R². Donc F , réunion de deux fermés, est un fermé de R ² .

c) Bien sûr, (0, 0) F . De plus, (,) n’est pas dans F pour n ≥ 1. Donc (0,0) est adhérent au complémentaire de F , et finalement appartient à la frontière de F .

d) Si u F, l’inégalité est évidente. Supposons que u = (x,y) ne soit pas dans F . On a donc 0 < y < x² . Par suite, d_F(u) ≤∥u - (x,x²)∥ = |y - x²|≤ x² ≤∥u∥².

e) On vient de voir que d_F(u) = O(∥u∥²) = d_F(0) + o(u), donc que d _F est différentiable en 0, de gradient nul.

Partie IV : distance à la sphère unité

18. On supposera ici n ≥ 2.

a) On a l’encadrement 1 ≤ dimvect(a,u,y) ≤ 2. Si la dimension de vect(a,u,y) vaut 2, P := vect (a, u, y) répond à la question. Sinon, on considère un vecteur z non dans vect(a,u,y) et on pose P := vect(a,u,y,z).

b) Puisque F ∩ P est l’ensemble des vecteurs de norme 1 de P , c’en est le cercle unité.

c) Si y F, on a, compte tenu de l’égalité ∥a - u∥ = 1 -∥a∥,

d’après l’inégalité de Cauchy & Schwarz. L’égalité a lieu si et seulement si y = λa avec λ ≥ 0, donc si et seulement si y = u. Ainsi, Γ(a) = {u}.

19. En particulier, pour tout a dans E \{0},

Cette égalité reste trivialement pour a = 0_E car tous les points de F sont alors à distance 1 de a.

20. Si ∥a∥ > 1, d_F(x) = ∥x∥- 1 au voisinage de a, donc d_F est différentiable en a. De plus, (∇d_F )(a) = . Si 0 < ∥a∥ < 1, d_F(x) = 1 -∥x∥ au voisinage de a, donc d_F est différentiable en a, et (∇d_F )(a) = -.

21. Puisque 1 = d(0,F), l’ensemble des y de F tels que ∥y - 0∥ = d(0,F) est égal F.

22. Soit x R a, que l’on écrit x = ta. On a d_F(x) = |t - 1|. Par conséquent, d_F n’est pas dérivable en a selon le vecteur a. Ceci entraîne que d_F n’est pas différentiable en a.

23. a) On a d_F (tv) = |t- 1| = 1 -|t|. Cette fonction n’est pas dérivable en 0.

b) Par conséquent, d_F n’est pas différentiable en 0.

Partie V : une condition nécessaire de différentiabilité à l’extérieur de F

24. a) L’inégalité demandée résulte du caractère 1-lipschitzien de d_F.

b) Puisque

après division par t, on obtient que donc que ∥u∥² ≤ ∥u∥, ce qui entraîne que ∥u∥≤ 1.

25. a) Puisque x [y,a], on peut écrire x = (1 - t)y + ta avec t [0,1] et donc

b) On a bien entendu d_F(x) ≤∥x - y∥. Comme d_F est 1-lipschitzienne,

et donc

Finalement, d_F (x) = ∥x - y∥.

26. a) Le vecteur a - tv appartient à [a,a - (a - y)] = [a,y] et, d’après la question 25,

b) On utilise la différentiabilité de d_F :

et donc, après division par t et passage à la limite, 1 = ⟨(∇d_F)(a),v⟩ = ⟨u,v⟩.

Comme ∥u∥ ≤ 1 et ∥v∥ = 1, l’inégalité de Cauchy & Schwarz montre que ∥u∥ = 1 et que u = v.

c) Comme u = v, on a

On a donc montré que Γ(a) est un singleton {π(a)} et que (∇d_F)(a) = .

Partie VI : étude de la réciproque

27. a) La suite (x_p - a)_p≥0 est convergente, donc bornée. Soit b F . On a

Comme (x_p - b) et (x_p) sont bornées, (y_p) est bornée.

b) Comme suite bornée d’un espace vectoriel normé de dimension finie, (y_p) admet une valeur d’adhérence.

c) Comme F et E - V sont fermés, l F ∩ (E - V ).

d) On a x_φ(p) - y_φ(p) → a - l, donc d(x_φ(p),F) →∥a - l∥. Comme d(⋅,F) est continue, d(a, F) = ∥a - l∥ et, comme l F , l = π(a). Or π(a) V , alors que l ⁄ V : c’est la contradiction cherchée.

28. a) Puisque a ⁄ F , a ⁄= π(a) et donc R > 0. En outre, B(a,R) ∩ F ne contient que π(a), d’après l’hypothèse sur Γ(a).

b, c) ∙ Notons que y - x ⁄= 0. On a

Donc φ est de degré 2. Le terme constant étant strictement négatif, φ admet deux racines réelles de signes stricts opposés.

∙ Il s’agit de montrer que φ admet une seule racine dans [0,1]. L’unicité résulte de ce qui précède. En outre, φ(0) < 0 et φ(1) = ∥y - a∥² - R² ≥ 0 puisque y F . Ceci montre l’existence.

∙ Puisque φ(t_x,y ) = 0, on peut calculer t_x,y grâce à l’égalité

avec Δ := ⟨y - x, x -a⟩² -∥y -x∥²(∥x-a∥² -R²). En effet, t_x,y est la plus grande des deux racines de φ. On a en outre ∥p(x,y) - y∥ = (1 - t_x,y)∥x - y∥.

c) Posons h := ∥x - a∥. Alors

grâce à Cauchy & Schwarz, et donc | - R∥x - y∥|≤h∥x - y∥ grâce à l’inégalité ≤ - pour a et b positifs ou nuls. On a donc

Comme |- R|≤h,

Le résultat annoncé en découle.

d) Donnons-nous un voisinage de π(a), que l’on suppose sans restriction de la forme B(π(a), ϵ), avec ϵ > 0. D’après la question 27, il existe η > 0 tel que, si x B(a,η), alors Γ(x) ⊂ B(π(a),ϵ⁄2). D’après la question 28, il existe ηʹ > 0 tel que, pour tout x B(a, R) ∩ B(a,ηʹ), et pour tout y Γ(x), on ait ∥p(x,y) -y∥ < ϵ⁄2. Soit à présent x tel que ∥x - a∥ < min (R,η,ηʹ). Alors ∥p(x,y) - π(a)∥ < ϵ. C’est le résultat demandé.

29. a) Il suffit d’écrire x - p(x,y_x) = (x - a) + a - p(x,y_x) et de développer le carré.

b) On peut écrire

D’après la question 28, étant donné ϵ > 0, il existe η > 0 tel que, si ∥x - a∥ < η, alors ∥π(a) - p(x, y_x )∥≤ ϵ. Pour ces valeurs de x, ⟨x - a,π(a) - p(x,y_x)⟩≤ ϵ∥x - a∥. Donc ⟨x - a, π(a) - p(x,y_x)⟩ = o(x - a) et finalement

30. Puisque p(x,y) [y_x,x], on a ∥x - p(x,y)∥² ≤ d(x,F)². D’après la question 29, on en déduit que

D’un autre côté, puisque π(a) F , on a d(x,F)² ≤∥x - π(a)∥². Or

Par suite,

L’encadrement

montre le résultat demandé.

31. On vient de voir que d est différentiable en a, et que son gradient et 2(a-π(a)). Donc d_F est différentiable en a, et

32. D’après ce qui précède, d_F est différentiable en tout point de Ω. Il suffit de montrer que son gradient est continu pour pouvoir affirmer que d_F est de classe ¹, ou encore de montrer que π est continue sur Ω. Mais c’est justement le résultat de la question 26 appliquée au cas où Γ(x) est égal au singleton {π(x)}.

Partie VII : une condition nécessaire de différentiabilité en un point de F

33. Si a est intérieur à F , d_F est nulle dans un voisinage de a et donc son gradient en a est nul.

34. a) Par définition de la différentiabilité en a,

b) Pour t > 0, on obtient que -t∥u∥² + o(t) ≥ 0 et, après division par t et tendaison de t vers 0, que - ∥u∥² ≥ 0. Donc u = 0.
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