333. On munit Rn de la norme euclidienne canonique, notée ∥∥ et on considère ρ ∈ R+*, v une application de Rn dans lui-même ρ-lipschitzienne pour ∥∥, X une application de classe C1 telle que ∀t ∈ [0, 1],Xʹ(t) = v(X(t)). Soit N ∈ N*. Pour k ∈{0,…,N}, on pose XN k = X(k ) N- et on définit par récurrence ξN 0 = X(0) et si k ≥ 1, ξN k = ξN k-1 + 1 N-v(ξN k- 1). On note pour k ∈ {0, … , N}, εNk = ∥ξNk - XNk∥ et εN = max{εNk;k ∈{0,…,N}}. Montrer que εN → 0 quand N → +∞.

Pour k = 1, … , N

εNk= ∥XNk - ξkN∥ ≤ εNk-1 + ∥(XNk - XNk-1)- (ξNk - ξNk- 1)∥ N ∥∥ 1 ∫ 1 ( (k - 1 t) ) 1 N ∥∥ = εk-1 + ∥∥ N v X --N--+ N- dt - N-v(ξk-1)∥∥ ∥∥∫01( ( ( )) ) ∥∥ = εNk-1 + 1-∥∥ v X k--1-+ t- - v(ξkN- 1) dt∥∥ N ∫ 0 ∥ ( N )N ∥ N 1- 1 ∥∥ k--1- -t N ∥∥ ≤ εk-1 + N 0 ρ∥X N + N - ξk- 1∥ dt 1 ∫ 1 ∥∥ ( k- 1 t) (k - 1)∥∥ ≤ εNk-1 + -- ρ∥∥X -----+ -- - X ----- ∥∥ dt ∫ N ∥0 ( )N N∥ N + 1- 1ρ ∥∥X k---1 - ξN ∥∥ dt N 0 ∥ N k-1∥ ρ ρ ∫ 1 t ≤ εNk-1 + NεNk-1 + N- ∥X ʹ∥∞ N-dt 0
soit
( ρ ) ρ∥X ʹ∥∞ εNk ≤ 1+ N- εNk-1 +--2N-2-

On peut supposer ρ > 0 et on a, par récurrence immédiate sur k en tenant compte de εN 0 = 0,

( ρ)k εN ≤ ρ∥X-ʹ∥∞- × -1+-N-----1- k 2N 2 ρN-

soit

ʹ [( )N ] ρ ʹ εNk ≤ ρ∥X-∥∞- × 1+ -ρ - 1 ≤ (e----1)∥X--∥∞-- 2N N 2N

Ainsi

(eρ - 1)∥X ʹ∥∞ ( 1) εN ≤ -----2N------= O N-

ce qui montre que εN tend vers 0 quand N tend vers + ∞.


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