320. Pour x ∈ ]- 1,1[ et n ∈ N*, on note Pn(x) = n ∏ k=1-1-- 1-xk⋅

a) Montrer que, si x ∈]- 1,1[, (Pn(x))n≥1 converge. On note P(x) sa limite.

b) Montrer que, pour x ∈]- 1,1[, P(x) = 1 + +∞ ∑ n=1pnxn où, pour n ∈ N*, pn est le nombre de façons d’écrire n comme somme d’éléments de N* sans tenir compte de l’ordre.

c) Montrer que, lorsque x → 1-, P(x) = exp( -π2-- ) 6(1-x)(1 + o(1)).

d) Montrer que, lorsque n → +∞, pn ≤ exp( • 2n- ) π 3 (1+ o(1)).

a) Soit x ∈ ]-1,1[. Comme xk < 1 pour tout k ∈ N*, on a

[ n ] * ∑ ( k ) ∀n ∈ N ,Pn(x) = exp - ln(1- x ) . k=1
Or - ln (1 - xn ) ~ xn car (xn)n converge vers 0. Comme ∑xn converge absolument, on en déduit que ∑(-ln(1 - xn)) converge. On conclut que (Pn(x))n converge vers un élément de R* +. En vue de la suite, on notera que
+∞ lnP (x ) = ∑ (- ln(1- xn)). n=1
(1)

b) Précisons la notation pn. Fixons n ∈ N (éventuellement nul). On dit qu’une suite (ak)k≥1 d’éléments de N est une partition de n lorsque n = +∞ ∑ k=1kak. Notons qu’une telle suite a doit vérifier ak = 0 pour tout k ≥ n + 1, et ak ≤ n pour tout k ∈ [ [1,n]]. L’ensemble Pn des partitions de n est donc fini ; on note pn son cardinal. Plus particulièrement, notons Pn,N, pour N ∈ N*, l’ensemble des partitions a de n telles que ak = 0 pour tout k > N ; posons pn,N := |Pn,N|. On observe que pn,N = pn pour tout N ≥ n, que pn,1 = 1, et que la suite (pn,N)N≥0 est croissante.

Fixons x ∈ ]-1,1[. Par récurrence sur N ∈ N*, on montre la propriété

HN  : ≪ +∞ ∑ n=0pn,Nxn = PN(x) avec convergence absolue ≫.

L’assertion H0 est triviale, tandis que H1 découle du développement P1(x) = +∑∞ n=0xn. Soit N ≥ 2 tel que HN-1 soit vraie. Alors,

(+∑ ∞ ) (+∑∞ ) PN (x) = PN--1(xN)-= pn,N-1xn xnN 1- x n=0 n=0 (+∑∞ ) (+∑∞ ) = pn,N-1xn 1N N(n)xn . n=0 n=0
Les deux séries finalement obtenues sont absolument convergentes. Par produit de Cauchy, on en déduit l’égalité PN(x) = +∞ ∑ n=0dnxn avec convergence absolue, où, pour tout n ∈ N,
n ⌊n⁄N⌋ d = ∑ 1 (k)p = ∑ p . n k=0 NN n-k,N -1 d=0 n-dN,N-1

Soit n ∈ N . Pour tout d ∈ [ [0,⌊n⁄N⌋]], on met en bijection l’ensemble des éléments de Pn,N dont le N-ième terme est d avec Pn-Nd,N-1 en associant à a la suite (a1,…,aN-1,0,0,…). En partitionnant Pn,N selon le N-ième terme, il vient dn = pn,N. La propriété HN est donc établie.

Convenons que P-1(x) = 0 et pn,-1 = 0 pour tout n ∈ N. Nous avons donc

∑+∞ +∑∞ +∑∞ n P(x)= (PN (x)- PN- 1(x)) = (pn,N - pn,N-1)x . N=0 N=0 n=0
Or la famille u := ((pn,N - pn,N-1)xn)(n,N)∈N2 est sommable puisque le raisonnement précédent, appliqué à |x| au lieu de x, donne
+∑ ∞ +∑∞ +∑∞ +∑∞ P(|x|) = (pn,N - pn,N-1)|x |n = |un,N |. N=0 n=0 N=0n=0
Le théorème de Fubini assure donc que
+∑ ∞ +∑∞ +∑∞ P(x) = (pn,N - pn,N- 1)xn = pnxn. n=0 N=0 n=0

c) Fixons x ∈ ]0,1[. Pour tout n ∈ N*, on a |xn| < 1, donc, par développement en série entière du logarithme, l’égalité () donne

+∞ +∞ n k + ∞ +∞ nk +∞ k lnP(x) = ∑ ∑ (x-)-= ∑ ∑ x-- = ∑ ---x----, n=1 k=1 k k=1n=1 k k=1 k(1- xk)
l’interversion étant justifiée par la positivité du terme général. Il vient alors
+∑∞ xk 1- x (1 - x)ln P(x) = k-1---xk⋅ k=1 ◟--◝◜--◞ fk(x)
Soit k ∈ N * . Alors,
k 0≤kfk(x ) = xk-1--x-=-------x--------= ------1-------≤ 1- 1- xk 1 + x+ ⋅⋅⋅+ xk-1 x-k + ⋅⋅⋅+ x-1 k
(2)

car x-i ≥ 1 pour tout i ∈ N. L’égalité dans () montre que fk tend vers 1k2 en 1-. En outre,

* -1 ∀k ∈ N ,∀x ∈ ]0,1[,|fk(x)| ≤ k2 ⋅
Cela montre la convergence normale de ∑ kfk sur ]0,1[, donc
+∑∞ 1 (1- x) ln P(x) -→ k2 quandx → 1- . k=1
Enfin, on a classiquement ∑+∞ k=1k12 = 2 π6 (ce résultat ne figure pas au programme et il est douteux que l’examinateur en attendît une démonstration). Ainsi, quand x tend vers 1-, on trouve (1 - x) ln P(x) = 2 π6- + o(1) puis
( --π2--- ) - P(x) = exp 6(1 - x)(1 + o(1)) quand x → 1 .

d) Posons λ := π2 6⋅ Nous remarquons que l’inégalité () donne directement la majoration :

∀x ∈ ]0,1[,P(x) ≤ exp(λ(1- x)-1).
Fixons x ∈ ]0,1[ quelconque. Comme (pk)k est à terme général positif, le résultat de b) donne en particulier pn xn ≤ P(x), d’où
pn ≤ exp(λ(1- x)-1 - nln x).
(3)

Une étude des variations de u↦→λu-1 -nln(1 -u) sur ]0,1[ montre que, lorsque n est grand, son minimum est atteint en un point proche de √ ----- λn-1. Cela invite à prendre x := 1 -√ ----- λn-1 dans (), à condition que n > λ (condition que nous supposerons désormais remplie). Il vient

( ( ----)) pn ≤ exp √ λn- n ln 1- √ λn-1 .
Or - √λn - nln(1 -√----- λn -1) = 2 --- √ λn + o(√n-) quand n → +∞. Il vient donc
•--- ( 2n( )) pn ≤ exp π 3 1 +o(1) .


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