317. Soient R > 0 et (an)n≥1 ∈ CN* avec a1≠0. On suppose que le rayon de convergence de ∑anzn est supérieur ou égal à R. On cherche à construire (bn)n≥1 ∈ CN* telle que g : z↦→ +∞∑ n=1bnzn ait un rayon de convergence > 0 et (f • g)(z) = z au voisinage de 0.

a) Montrer qu’il existe une unique suite (bn)n∈N* ∈ CN* telle que : (*) :

( ∑N ) ∀N ∈ N*, f bnzn = z + o(zN). n=1

b) Soit (An )n≥1 ∈ (R+)N* telle que A1 = |a1| et, pour n ∈ N*, An ≥|an|. On suppose que le rayon de convergence de ∑Anzn est strictement positif. On définit, au voisinage de 0, la fonction F : z↦→ A1z -+∞ ∑ n=2Anzn. On considère la suite (Bn)n≥1 ∈ CN* telle que, pour tout N ∈ N*, F(∑N B zn) n=1 n = z + o(zN). Montrer que, pour tout n ∈ N*, Bn ≥ |bn |.

c) Soit r ∈ ]0,R[ et M = +∑∞ n=1|an|rn. Pour N ∈ N*, on pose AN = MrN. Montrer que les rayons de convergence de ∑Bnzn et de ∑bnzn sont strictement positifs.

d) Conclure.

Théorème d’inversion local à droite d’une fonction développable en série entière.

Nous utiliserons deux résultats classiques

Proposition 1.Soient u ∈ CN et v ∈ CN* . On suppose que les fonctions

+∑ ∞ +∑∞ φ : z ↦→ unzn et ψ : z ↦→ vnzn n=0 n=1
sont définies au voisinage de 0. Il existe alors un réel r > 0 tel que l’application B(0,r) → C, z↦→ φ • ψ(z) est bien définie et est la somme d’une série entière.

Proposition 2.La fonction β : B(0,1) → C, z↦→+∑∞ n=0(1⁄2) nzn est bien définie et l’on a ∀z ∈ B(0, 1), β(z)2 = 1 + z.

Démonstration. On sait que ∀x ∈] - 1,1[, √ ----- 1+ x = +∑∞ n=0(1⁄2) nxn. Donc le rayon de convergence de la série entière +∞ ∑ n=0(1⁄2) nzn est supérieur ou égal à 1 et β est bien définie. Comme β2 est la somme d’une série entière et que ∀x ∈] - 1,1[, β2(x) = 1 + x, on a, par unicité du développement en série entière ∀z ∈ B(0,1), β(z)2 = 1 + z. __

a) Unicité. Soit b ∈ CN* qui convient. Pour N ∈ N*, z↦→f(∑N n) n=1bnz est développable en série entière autour de 0 et on a, en examinant le coefficient de zN

N (*)b= 1- et (**) b = - 1-∑ ∑ a b ...b 1 a1 N a1k=2p1+...+pk=N kp1 pk

Les formules (*) et (**) caractérisent la suite (bn) qui est donc unique.

Existence. Les formules (*) et (**) définissent une suite (bn) qui est manifestement solution.

b) On a B1 = 1A1 et, pour N ≥ 2,

∑N ∑ BN = -1- AkBp1 ...Bpk. A1 k=2p1+...+pk=N
On en déduit, par une récurrence immédiate que ∀N ≥ 1, BN ≥|bN|.

c) On a bien |AN |≥|aN| pour tout N ∈ N* et, pour |Z| < r,

2 F(Z ) = M-Z---M-Zr2 r 1 - Zr-

Pour z ∈ C tel que |z| < r, on considère l’équation (Ez) d’inconnue Z ∈ C \{r},

2 M-Z- -M-Zr2 (Ez) r - 1 - Zr-= z.

On vérifie immédiatement que si | 2 | ||6Mz- Mz2-|| < 1,

(( ) ( 2 )) Z := r 1 + z-- - β - 6z-+ z-2 4 M M M

est une solution de (Ez).

On choisit alors r1 > 0 tel que r1 ≤ r et |z| < r1 ⇒||6z z2 || |M-- M2-| < 1 et on définit à bon droit

(( ) ( 2) ) ˜G:B (0,r1) → C, z ↦→ r 1 + z-- - β - 6z-+ -z- 4 M M M 2

Selon la proposition 1, il existe r2 ∈]0,r1] tel que ˜ G est développable en série entière sur B(0,r2). Comme ˜G (0) = 0, on peut poser, pour |z| < r2, ˜G(z) = + ∞ ∑ n=1B˜nzn.

Pour |z| < r2 , on a donc F •˜G(z) = z. Si N ∈ N*, on a ainsi

( ∑N ) F ˜Bnzn = F • ˜G(z)+ o(zN) n=1

d’où ˜B N = BN , d’où l’on déduit que le rayon de convergence de la série entière +∑∞ n=1Bnzn est égal à celui de la série entière +∑∞ n=1˜Bnzn, donc est strictement positif et que par conséquent celui de la série entière +∞ ∑ n=1bnzn est également strictement positif.

d) Soient rʹ le rayon de convergence de la série entière +∞ ∑ n=1bnzn et g : B(0,rʹ) → C, z↦→+∞ ∑ n=1bnzn. Selon la proposition 1, on dispose de rʹʹ > 0 tel que f • g est définie et développable en série entière sur B(0, rʹʹ).

Pour N ∈ N * , on a, lorsque z tend vers 0,

( ) ( ) ∑N n N N∑ n N N f•g(z)=f bnz + o(z ) = f bnz +o(z ) = z + o(z ) n=1 n=1

Donc le développement en série entière de z↦→f • g(z) est z↦→z et ainsi, ∀z ∈ B(0,rʹʹ), f • g(z) = z.


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