316. a) La fonction g est définie par g(0) = 0 et ∀x R^*,g(x) = exp(-x^-2). Montrer que g est de classe C^∞ sur R mais n’est pas développable en série entière en 0.

b) Soit f : R → R de classe C^∞. Montrer que f est développable en série entière en 0 si et seulement s’il existe a > 0, M > 0 et A > 0 tels que ∀n N,∀x [-a,a],|f⁽ⁿ⁾(x)|≤ MAⁿn!.

c) Établir l’existence de A > 0 tel que ∀n N,∀x R,|g⁽ⁿ⁾(x)|≤ (n!)^3⁄2Aⁿ.

a) On définit une suite (Q_n)_nN de polynômes par récurrence en posant Q₀ = 1 et Q_n+1 = -X² Q_n ʹ + 2X³Q_n pour tout n N. À partir de la formule de dérivation d’un produit et d’une composée, une récurrence facile montre que, pour tout n N, la restriction h de g à R^* est n fois dérivable et de dérivée n-ième xQ_n(x^-1)e^-x-2 . Par croissances comparées (x^-1 )^k e^-x-2 tend vers 0 quand x tend vers 0, pour tout k N, donc par combinaison linéaire h⁽ⁿ⁾ a pour limite 0 en 0 pour tout n N. Ainsi, h admet un unique prolongement : R → R de classe C^∞. En particulier (0) = lim₀h = 0, donc = g, et le résultat voulu est démontré. En outre, pour tout n N, g⁽ⁿ⁾(0) = lim₀h⁽ⁿ⁾ = 0. Si g était, sur un intervalle de la forme avec r > 0, la somme d’une série entière, cette série entière serait zⁿ, donc g serait nulle au voisinage de 0, ce qu’elle n’est évidemment pas.

Ainsi, g n’est pas développable en série entière en 0.

b) Supposons l’existence de trois réels a,M,A strictement positifs tels que

Posons ρ := min (a,A^-1). Soit x . Soit N N. La fonction f^(N+1) est donc bornée sur le segment d’extrémités 0 et x par Mρ^-(N+1)(N + 1)!. L’inégalité de Taylor-Lagrange donne donc Comme 0 ≤ |x|ρ^-1 < 1, le terme majorant tend vers 0 quand N tend vers + ∞, donc

Réciproquement, supposons qu’il existe une suite réelle (c_n)_n≥0 et un r R tels que f(x) = c_nxⁿ pour tout x . Soit N N. Alors f^(N)(x) = c_nx^n-N pour tout x . Posons a := . Soit x [-a,a]. Alors

la convergence de la série de droite étant assurée par le fait que 0 ≤ 2a < r. Ainsi,

c) Fixons d’abord x > 0 et montrons que la fonction φ : hexp(-(x - h)^-2) est la somme d’une série entière sur le disque ouvert D := D_o(0,x). Soit en effet h D. Par produit de Cauchy, on trouve d’abord le développement

Il vient donc puis Notons que (n + 1)x^-(n+2) ≥ 0 pour tout n N. Par produit de Cauchy de séries entières, il existe, pour tout N N , une suite réelle positive (a_n,N)_nN telle que Par développement de l’exponentielle, on en déduit De même, ce qui montre, puisque ≥ 0, la sommabilité de la famille _(N,n)N². On déduit donc du théorème de Fubini que si h≠0 alors où b_n := pour tout n N (l’existence de b_n étant garantie par le fait que hⁿ≠0). En particulier, comme D contient un élément non nul tous les b_n sont bien définis, et le théorème de Fubini donne encore φ(h) = b_nhⁿ même si h = 0.

Ensuite, le théorème de dérivation d’une série entière indique que b_n = (-1)ⁿ pour tout n N .

Fixons maintenant n N^* et exprimons différemment b_n. Soit r . Alors,

Ici, la convergence de la série est normale sur R par rapport à la variable θ car |b_kr^ke^i(k-n)θ| = |b_k|r^k pour tout θ R , et la série b_kr^k converge absolument car le rayon de convergence de b_kz^k est strictement supérieur à r. Ainsi, par intégration terme à terme sur un segment (avec terme général continu), on obtient car e^ikθ d θ = [(ik)^-1e^ikθ] = 0 pour tout k Z^*. Ainsi, donc par inégalité triangulaire Dans la suite, prenons r := . Pour tout réel θ, on a donc Ainsi, en posant C = , on obtient Posons alors ψ : t R -nlnt-, fonction dérivable de dérivée ψʹ : t- + = ⋅ On en déduit facilement que ψ admet un maximum en , de valeur - ln(2C) -. En posant B := (2C)^-1⁄2, on en déduit que Enfin, la formule de Stirling montre que la suite de terme général tend vers 0, et elle est donc bornée par un réel D ≥ 1. Par suite, nⁿe^-n ≤ n!D ≤ n!Dⁿ pour tout n ≥ 1. Ainsi, en posant A := BD^1⁄2 , on en déduit Fixons n N ^* . Comme g est paire on trouve ∀x R,g⁽ⁿ⁾(x) = (-1)ⁿg⁽ⁿ⁾(-x). En outre g⁽ⁿ⁾ (0) = 0 comme vu en a) . Ainsi Enfin on a trivialement

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