315. a) Soient (a,b) ∈ R2 tel que a < b, et g une fonction continue par morceaux de [a,b] dans C . Montrer que ∫ b ag(t)sin(λt)dt → 0 quand λ → +∞.

b) Soit f : R → C une fonction 2π-périodique de classe C1 par morceaux. Pour k ∈ Z, on pose ck = 1 2π∫π -πf(t)e-iktdt.

Montrer que pour tout réel t, ∑n k=-nckeikt tend vers 12(f(t+)+ f(t- )) quand n tend vers + ∞.

Solution d’après Moubinool Omarjee

a) Notons E l’espace vectoriel des fonctions continues par morceaux de [a,b] dans C. Pour g ∈ E et λ ∈ R , posons Iλ(g) := ∫ b ag(t)sin(λt)dt. Soit g : [a,b] → C en escalier, et (a0,…,an) une subdivision de [a,b] adaptée à g. En notant yi := g(ai+ai2+1) pour tout i ∈{0,…,n - 1}, on a donc : pour tout λ ∈ R*,

n∑-1 ∫ ai+1 Iλ(g)= (ai+1 - ai)yi sin(λt)dt i=0 ai 1 n∑-1 = -- (ai+1 - ai)yi[- cos(λai+1) + cos(λai)] = O λ→+∞ (λ-1), λ i=0
ce qui assure que Iλ(g) tend vers 0 quand λ tend vers + ∞.

Soit g ∈ E. Il existe une suite (gp)p∈N de fonctions en escalier sur [a,b] convergeant uniformément vers g. Pour tout p ∈ N et tout λ ∈ R, on voit que

||∫ b || |Iλ(gp)-Iλ(g)| = || (gp(t)- g(t))sin(λt)dt|| ∫ a b ≤ a |gp(t)- g(t)||sin(λt)|dt ≤ (b- a)∥gp - g∥∞,
ce qui montre la convergence uniforme sur R de (λ↦→Iλ(gp))p∈N vers λ↦→Iλ(g). Or, pour tout p ∈ N , on a vu que Iλ(gp) tend vers 0 quand λ tend vers + ∞. Par interversion des limites, on en déduit que Iλ (g) tend vers 0 quand λ tend vers + ∞.

b) Précisons la signification des hypothèses : une fonction g : R → C est dite de classe C1 par morceaux lorsqu’il existe, pour tout segment (non trivial) [a,b] de R, une subdivision (a0,…,an) de [a, b] telle que, pour tout i ∈ [ [0,n- 1]], la restriction de g à ]ai,ai+1[ possède un prolongement de classe C1 à [ai , ai+1]. On démontre aisément que pour une telle fonction f et n’importe quel réel τ, la fonction gτ : t↦→g(t + τ) est encore de classe C1 par morceaux. Par ailleurs, une telle fonction g est évidemment continue par morceaux. On aura enfin besoin du principe suivant, dont la démonstration figure en annexe : étant donné une fonction 2π-périodique et continue par morceaux g : R → C, l’intégrale ∫ π -πgτ ne dépend pas du choix du réel τ.

Traitons d’abord le cas t = 0. Fixons n ∈ N et posons Dn : θ↦→∑n k=-neikθ, fonction évidemment paire. Par définition des ck et linéarité de l’intégrale, on trouve

n∑∫ π ∫ π ∫ 0 ck=1 f(θ)Dn(- θ)dθ = -1- f(θ)Dn(θ)dθ+ -1- f(θ)Dn(θ)dθ. k=-n2π -π 2π 0 2π -π
(1)

Notons que

∫ π -ikθ -1 -ikθ π e dθ = (- ik) [e ]-π = 0 -π
pour tout k ∈ Z * , tandis que ∫ π -πe-i0θdθ = 2π. On en déduit ∫ π -πDn = 2π, puis, par parité de Dn, ∫ π 0Dn = ∫ 0 -πDn. Par suite,
f(0+)+-f(0--) -1-∫ π + 1-∫ 0 - 2 = 2π 0 f(0 )Dn (θ)dθ + 2π - πf(0 )Dn(θ)dθ.
(2)

En combinant () et (), on obtient donc

(n∑) + - ∫ π ck- f(0-)+-f(0-)- = -1- (f(θ)- f(0+ ))Dn (θ)dθ k=-n 2 2π ◟0--------◝◜---------◞ Jn 1 ∫ 0 - +2π- (f(θ)- f(0 ))Dn(θ)dθ . ◟-π-------◝◜----------◞ Kn
Soit θ ∈ ]0,π]. Alors eiθ≠1 donc
∑n iθk (eiθ)n+1 --(eiθ)-n sin((n-+1)θ⁄2) Dn(θ) = (e ) = eiθ - 1 = sin(θ⁄2) ⋅ k=- n
Ainsi,
∫ ∫ πf(θ)-f(0+) 0 f(θ)--f(0- ) Jn=0sin θ sin((n + 1)θ⁄2)dθ,Kn = -π sin θ sin ((n +1)θ⁄2)dθ. 2 2
On va maintenant se ramener à la situation du a) . On sait qu’il existe un réel α > 0 ainsi qu’une fonction g : [0, α] → C de classe C1 coïncidant avec f sur ]0,α[. En particulier g(0) = f(0+) donc f(θ) - f(0+ ) = gʹ(0)θ + o(θ) quand θ tend vers 0. Puisque sinθ2 ~θ2 quand θ tend vers 0+, il vient
f(θ)- f(0+) ʹ ---sin θ---- →θ→0+ 2g (0). 2
La fonction θ ∈ ]0,π]↦→f(θ)-f(0θ+) sin 2 est alors clairement prolongeable en une fonction h+ : [0,π] → C continue par morceaux On démontre de manière similaire que θ ∈[- π,0[ ↦→f(θ)-f(0-) ---sinθ2--- est prolongeable en une fonction h- : [-π,0] → C continue par morceaux.

On voit alors, avec les notations de a) , que Jn = In+1⁄2(h+) et Kn = In+1⁄2(h-) pour tout n ∈ N . Le résultat établi en a) montre alors que (Jn)n et (Kn)n convergent vers 0, et on conclut que

∑n f(0+)+-f(0- ) ckn-→→+ ∞ 2 ⋅ k=-n

Terminons par le cas général. Soit t ∈ R. La fonction ft est alors de classe C1 par morceaux, et ft (0+ ) = f(t+ ) et ft(0-) = f(t-). Enfin, pour tout k ∈ Z, comme la fonction θ↦→f(θ)e-ikθ est clairement continue par morceaux et 2π-périodique, le résultat démontré en annexe donne

∫π-ikθ ∫ π -ik(θ-t) ∫ π -ikθ ikt ikt ft(θ)e dθ = ft(θ- t)e dθ = f(θ)e e dθ = 2πcke . -π -π -π
Le cas particulier précédent, appliqué à ft, montre donc que
∑n ikt ft(0+)+-ft(0- ) f(t+)-+-f(t- ) cke n-→→+ ∞ 2 = 2 ⋅ k= -n

Annexe : intégrale sur une période

Une difficulté est que le programme de Mathématiques de la filière MPSI/MP ne fournit aucune formule de changement de variable lorsque l’intégrande est seulement supposé continu par morceaux ! Nous allons commencer par combler cette lacune pour un changement de variable translatif : soit en effet h : [a,b] → C continue par morceaux, (a0,…,an) une subdivision adaptée, et τ ∈ R . Montrons que

∫ ∫ hτ = h. [a-τ,b-τ] [a,b]
(3)

D’abord

∫ b n-1 ∫ a n- 1∫ h = ∑ i+1h = ∑ h. a i=0 ai i=0 ]ai,ai+1[
De même
∫ b-τ n∑-1 ∫ ai+1-τ n∑-1∫ hτ = h = hτ. a-τ i=0 ai-τ i=0 ]ai-τ,ai+1-τ[
En appliquant le théorème de changement de variable sur un intervalle ouvert pour une fonction continue, on trouve ∫ ]ai-τ,ai+1-τ[hτ = ∫ ]ai,ai+1[h pour tout i ∈ [ [0,n - 1]]. On en déduit ().

Pour finir, soit h : R → C continue par morceaux et 2π-périodique. Soit a ∈ R. Alors

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ π π+τ - π π π+ τ -π hτ = -π+ τ h = - π+τ h + -πh + π h.
Comme h est 2π-périodique, on trouve ∫ -π -π+τh = ∫ -π -π+τh2π = ∫ π π+ τh = -∫ π+ τ πh, et on conclut que ∫π -πhτ = ∫π -πh.


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