296. On fixe un nombre premierp. On noteFple corpsZ⁄pZ,l’ensemble des polynômesunitaires deFp[X],H le demi-plan des nombres complexes de partie réelle strictementsupérieure à1.
a) Soits H. Montrer que la famille(p-sdeg(F))Fest sommable: on noteξ(s) sa sommedans la suite de l’énoncé.
b) On notel’ensemble des polynômes unitaires deFp[X] sans facteur carré, autrement ditsans facteur multiple dans leur décomposition en facteurs irréductibles. Soits H. On noteξ2(s) = p-sdeg(F). Montrer queξ(2s) =⋅
c) Soitk ≥ 2 entier. Montrer qu’il y a exactementpk-pk-1polynômes unitaires deFp[X] dedegrék et sans facteur carré.
a) Posons u = (p-sdegF)F. Soit n N. Notons n l’ensemble des polynômes unitaires de
Fp[X] de degré n: la fonction (a0,…,an-1) (Fp)nXn+ akXkn est évidemment
bijective, donc n est fini de cardinal pn. Ainsi
Or
0 ≤ p1-Re(s)< 1, donc la série géométrique |uF| converge. Comme (n)nN réalise une
partition de , le théorème de sommation par paquets montre que u est sommable. On obtient en
outre, toujours en sommant par paquets,
(1)
b) D’abord ξ2(s) est bien définie car toute sous-famille de u est sommable. Évidemment, 2s est
dans H. Développons
Sous
réserve de sommabilité de v := (p-sdeg(F)p-2sdeg(G))(F,G)×, le théorème de sommation par
paquets montre que
Or
(F, G) × FG2est bijective: on vérifie en effet facilement que sa bijection
réciproque associe à tout polynôme A, de décomposition A = P en facteurs irréductibles, le
couple formé de G := P et F := P où, pour tout k [[1,N]], les entiers qk et rk sont
respectivement le quotient et le reste de ak modulo 2. Ainsi, par changement d’indice, la
sommabilité de v découle de celle de u, et
On
conclut à l’identité ξ2(s)ξ(2s) = ξ(s). Le calcul de la question précédente a montré que ξ(s)≠0,
donc ξ2(s)≠0 et finalement
c) Soit s H. En combinant le calcul final du a) avec le résultat précédent, on trouve
Notons an le nombre d’éléments de de degré n. Par sommation par paquets, on a
donc
En
faisant parcourir par s, on en tire
Par
unicité du développement en série entière (hors-programme sous cette forme mais facile à obtenir
en constatant que l’égalité vaut encore en x = 0 puis en considérant les dérivées successives en 0),
on en déduit en particulier an= pn- pn-1 pour tout n ≥ 2, ce qu’il fallait démontrer.