287. Pour k ∈ N* on note d(k) le nombre de diviseurs positifs de k.

a) Donner un équivalent de Dn = n ∑ k=1d(k).

b) On note γ la constante d’Euler. Montrer que Dn = nlnn + (2γ - 1)n + O(√ -- n).

Solution de Moubinool Omarjee et Adrien Reisner

On aura besoin du développement eulérien classique

∑n 1 ( 1) k-= lnn + γ + O n- k=1
où γ := +∞∑ n=1un pour la suite u définie par u1 := 1 et un := 1n -∫ n n- 1dtt- pour tout entier n ≥ 2. La convergence de la série découle du théorème de comparaison série-intégrale puisque t↦→1 t est continue par morceaux, décroissante et positive sur [1,+∞ [. Le développement annoncé s’obtient alors par simple récriture de la somme partielle n ∑ k=1uk.

Étant donné n ∈ N*, on notera D(n) l’ensemble des diviseurs positifs de n et D- (n) := D(n) ∩[1,√n-[.

a) En sommant par paquets, on trouve

∑n ∑ ∑ n∑ ∑ Dn = 1 = 1 = 1. k=1i∈D(k) (k,i)∈[[1,n]]2t.q.i|k i=1 k∈[[1,n]]t.q.i|k
Or, pour tout i ∈ [ [1,n]], la fonction p↦→ip réalise une bijection de { ⌊ ⌋} 1,..., ni sur l’ensemble des multiples de i dans [ [1,n]]. Ainsi, Dn = ∑n i=1⌊n⌋ i. Par inégalité triangulaire, il vient
| n | n n ||D - ∑ n||≤ ∑ ||n-- ⌊n-⌋||≤ ∑ 1 = n. || n i=1 i|| i=1| i i | i=1
Ainsi Dn = nn ∑ i=11 i + O(n) et finalement, grâce au développement eulérien rappelé en introduction :
Dn = nlnn + O(n).

b) Nous raffinons la méthode précédente. Soit n ∈ N*. La fonction k↦→nk réalise une bijection de D- (n) sur D(n) ∩√ -- ] n,+∞ [. On en déduit que d(n) = 2cardD -(n) + 1 si n est un carré, et d(n) = 2 card D-(n) sinon.

Fixons n ∈ N * . Le nombre de carrés dans [ [1,n]] est évidemment ⌊√ -- n⌋, donc

∑n √-- Dn = 2 cardD - (k)+ O( n ). k=1
En procédant comme en (a), on obtient
∑n ∑n cardD - (k) = |Ei,n| k=1 i=1
où, pour tout i ∈ [ [ 1, n]], on a noté Ei,n l’ensemble des k ∈ [ [1,n]] tels que i divise k et i < √ -- k, autrement dit i divise k et i < k i. En procédant comme en a) , on voit que k↦→k i met en bijection Ei,n avec l’ensemble des entiers l tels que i < l ≤n i. Ce dernier ensemble est vide si i > √ -- n, sinon il est de cardinal ⌊n⌋ i- i. Il vient
∑n x∑n (⌊n⌋ ) cardD- (n ) = i - i k=1 i=1
où xn := ⌊√ n ⌋. On remarquera que x n = √-- n + O(1) en vue de la suite. D’une part
x∑n x (x + 1) n + O(√n-) n √-- i =-n--n-----= ----------= -+ O ( n). i=1 2 2 2
D’autre part, la même méthode qu’en a) fournit le développement
x∑n ⌊n ⌋ ∑xnn √ -- -- = --+ O ( n). i=1 i i=1 i
Le développement eulérien rappelé en introduction assure quant à lui que
xn∑n( (1 )) √-- √ -- =nln xn + γ + O -- = nln( n )+ nln(1+ O(n-1⁄2))+ γn+ O ( n) i=1i n nlnn √ -- =2 + γn + O( n).
En combinant les développements asymptotiques précédents, on conclut que
Dn = nln n+ (2γ - 1)n+ O (√n).


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