286. Si f est une fonction de N* dans R, on note M(f) la fonction de N* dans R telle que ∀n ∈ N * , M(f)(n) = 1 n n ∑ k=1f(k).

a) Montrer que, pour toute fonction f de N* dans R, ∀n ∈ N*,M(k)(f)(n)- →k→+ ∞ f(1).

b) Montrer que, si f est polynomiale, il en est de même de M(f).

Solution de Mohamed Houkari

a) Fixons n ∈ N*. Pour toute application f : N*→ R et tout n ∈ N*, on a

( ) ( ) ( ) M (f )(1) 1 (0) f(1) || M (f )(2)|| || 1⁄2 1⁄2 || ||f(2)|| |( .. |) = |( .. .. |) |( .. |) . . . . . M (f)(n) 1⁄n 1⁄n ⋅⋅⋅ 1⁄n f(n)

On note A = (1 (0)) |1⁄2 1⁄2 | ||. . || (.. .. ) 1⁄n 1⁄n ⋅⋅⋅ 1⁄n et u l’endomorphisme de Rn canoniquement associé à A. L’endomorphisme u est alors diagonalisable (car A est triangulaire inférieure et compte n valeurs propres distinctes).

On pose e = () |1.| (..) 1 et H l’hyperplan engendré par les vecteurs ( ) |0| ||1|| ||0.|| ( ..) 0 , ( ) |0| ||0|| ||1.|| ( ..) 0 , ..., ( ) | 0| || 0|| || 0.|| ( ..) 1 , c’est-à-dire les (n - 1) derniers vecteurs de la base canonique de Rn.

On a alors les faits suivants :

  • Rn = R ⋅ e ⊕ H
  • e est vecteur propre de u pour la valeur propre 1
  • H est stable par u et l’endomorphisme induit par u sur H a pour valeurs propres 1 2, 1 3,…,1 n.

Soit une application f : N* → R et un entier n ∈ N*. On pose X = ( ) f(1) |( ... |) f(n) et on écrit

X = f (1)e+ X H

avec XH ∈ H. Alors,

∀k ∈ N, uk(X ) = f(1)e+ uk(XH )

Or uk (XH )-→k→+∞ 0 puisque l’induit par u sur H est diagonalisable à valeurs propres dans ]-1 , 1[.

Ainsi, uk (X)-→k→+ ∞ f(1)e, donc, pour ce qui est de sa n-ième composante :

M (k)(f)(n) -→ f(1). k→+ ∞

b) Par linéarité, il suffit de montrer que, pour tout k ∈ N, l’application M(fk) associée à fk : n↦→ nk est polynomiale. Fixons k ∈ N. On a :

n n-1 ∀n ∈ N*, M (fk)(n) = 1-∑ ik = 1-∑ (i+ 1)k. n i=1 n i=0

La question fait directement référence à un résultat classique concernant les sommes de puissances d’entiers consécutifs. L’endomorphisme

{ Δ : Rk+1[X] -→ Rk+1[X] P ↦-→ P(X + 1)- P (X )

a pour image Rk [X] et pour noyau R0[X], ce qui montre qu’il existe un unique Qk ∈ Rk+1[X] vérifiant Qk (0) = 0 et Δ(Qk) = (X + 1)k.

Ainsi

* -1 1- ∀n ∈ N , M (fk)(n) = n (Qk(n)- Qk(0)) = n Qk(n)

Or Qk (0) = 0, donc Qk-(n-) n est une expression polynomiale en n.

Ainsi, pour tout k ∈ N, l’application M(fk) est polynomiale, ce qui démontre le résultat voulu.
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