a) Que dire de (vn)n≥2 si (un)n≥1 converge vers le réel l ?
b) On suppose que un est égal à 1 si le premier chiffre de l’écriture de n en base 10 est 1, à 0 sinon. On pose, pour n N*, wn = uk. Étudier la convergence de (vn)n≥2, puis celle de (wn ).
a) On suppose que u converge vers un réel l. Ainsi = + o. Comme est divergente à terme général positif, il vient
b) Nous considérons que l’énoncé fait référence au premier chiffre en base 10 en partant de la gauche (et non de la droite). Montrons d’abord que w diverge. Fixons n N et notons que uk = 0 pour tout k [ [2 ⋅ 10n,10n+1 - 1]], tandis que uk = 1 pour tout k [ [ 10n , 2 ⋅ 10n - 1]]. On a donc w2⋅10n ≥10n = , tandis que w10n+1-1 = w2⋅10n. De l’inégalité obtenue, on tire que w ne peut converger vers 0. Or si w convergeait vers un réel l, la deuxième identité donnerait l = en passant à la limite, donc l = 0. Ainsi w diverge.
Montrons qu’en revanche v converge vers log 10(2). Pour cela, nous considérons la suite extraite (an ) := (v10n -1 ). En regroupant par paquets, on voit que
Pour n N * , notons Nn le plus grand naturel tel que 10Nn - 1 ≤ n (précisément, Nn = ⌊log 10 (n + 1)⌋), et observons, par positivité du terme général , que