285. Si (un )n∈N* est dans RN* , on définit (vn)n2 par n 2,vn = -1-
lnnn
∑
k=1uk-
k

a) Que dire de (vn)n2 si (un)n1 converge vers le réel l ?

b) On suppose que un est égal à 1 si le premier chiffre de l’écriture de n en base 10 est 1, à 0 sinon. On pose, pour n ∈ N*, wn = 1
n∑n

k=1uk. Étudier la convergence de (vn)n2, puis celle de (wn ).

a) On suppose que u converge vers un réel l. Ainsi un
-n = l
n + o(1
n). Comme ∑

 n1
n est divergente à terme général positif, il vient

         ∑n  ℓ   (∑n  1)
(ln n)vn =   --+ o    -- .
         k=1k     k=1k
Or ln(n) - ln (n - 1) = -ln(1 -1
n)~1
n ; toujours parce que ∑

 n1
n est divergente à terme général positif, il vient n
∑
k=2(ln(k) - ln(k - 1)) ~ n
∑
k=21
k, donc n
∑
k=11
k = 1 + lnn + o(lnn) et finalement n∑

k=11k = lnn + o(lnn). On en déduit (lnn)vn = llnn + o(lnn), puis en divisant vn = l + o(1). En conclusion, v converge vers l.

b) Nous considérons que l’énoncé fait référence au premier chiffre en base 10 en partant de la gauche (et non de la droite). Montrons d’abord que w diverge. Fixons n ∈ N et notons que uk = 0 pour tout k ∈ [ [2 10n,10n+1 - 1]], tandis que uk = 1 pour tout k ∈ [ [ 10n , 2 10n - 1]]. On a donc w210n 2⋅110n-10n = 12, tandis que w10n+1-1 =    n
102⋅n1+01-1-w210n. De l’inégalité obtenue, on tire que w ne peut converger vers 0. Or si w convergeait vers un réel l, la deuxième identité donnerait l = l5 en passant à la limite, donc l = 0. Ainsi w diverge.

Montrons qu’en revanche v converge vers log 10(2). Pour cela, nous considérons la suite extraite (an ) := (v10n -1 ). En regroupant par paquets, on voit que

                     k
     ----1-----n∑-12⋅10∑ -11
an = ln (10n - 1)          i⋅
               k=0◟i=1◝0k◜--◞
                     bk
Grâce au théorème sur les sommes de Riemann, on trouve
        2⋅1∑0k- 1       ∫ 2
bk = 1--      -1- -→    dt = ln 2.
     10k  i=10k 1i0k     1  t
Par sommation des relations de comparaison, il vient n-1
∑

k=0bk ~ nln2. Or ln(10n - 1) = n ln(10) + ln(1 - 10-n) = nln10 + o(1), donc an ~ln2-
ln10, et finalement (an) converge vers log 10(2).

Pour n ∈ N * , notons Nn le plus grand naturel tel que 10Nn - 1 n (précisément, Nn = log 10 (n + 1)), et observons, par positivité du terme général uk
 k, que

        Nn                         Nn+1
aNn ln(10  - 1) ≤ vn ln n ≤ aNn+1 ln (10   - 1),
donc
ln(10Nn---1)          ln(10Nn+1)
    ln n    aNn ≤ vn ≤   lnn    aNn+1.
Or, si Nn > 0 alors 0 < ln(10Nn - 1) lnn ln10Nn+1 et donc
ln(10Nn - 1)          ln(10Nn+1)
-ln(10Nn+1-) aNn ≤ vn ≤ ln(10Nn---1)aNn+1.
Enfin, Nn tend vers + quand n tend vers + , donc ln(10Nn+1) = (Nn + 1)ln10 ~ Nn ln10 et ln(10Nn - 1) ~ Nn ln10, si bien que     N +1
llnn(1(100Nnn-1)) tend vers 1 quand n tend vers + . Par encadrement, on conclut que v converge vers log 10(2).


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