284. Soient θ1 , θ2,…,θn ∈ R avec 0 < θ1 < θ2 < ⋅⋅⋅ < θn < 1 et a1,…,an ∈ R. On suppose que la suite de terme général up = n ∑ j=1aj cos(πpθj) tend vers 0. Montrer : ∀j ∈{1,…,n}, aj = 0.

Posons pour tout j ∈ [ [1,n]], zj = eiπθj et considérons la matrice de Vandermonde :

( ) 1 ⋅⋅⋅ 1 1 ⋅⋅⋅ 1 || z1 ⋅⋅⋅ zn z1 ⋅⋅⋅ zn- || V = || z21 ⋅⋅⋅ z2n z12 ⋅⋅⋅ zn2 || . |( .. .. .. .. |) 2.n-1 2.n-1 --.2n- 1 --.2n- 1 z1 ⋅⋅⋅ zn z1 ⋅⋅⋅ zn

Comme 0 < θ1 < θ2 < ⋅⋅⋅ < θn < 1, les nombres complexes z1,⋅⋅⋅,zn,z1,⋅⋅⋅,zn sont tous distincts, donc V ∈ GL2n(C). Soit pour p ∈ N la matrice colonne :

( p ) | a1z.1 | || .. || 1|| anzpn || Xp = 2|| a1z1p ||. |( .. |) .-p anzn

Pour tout p ∈ N , V Xp = ( ) | up | || up+.1 || ( .. ) up+(2n-1) , donc par hypothèse : limp→+∞V Xp = 0.

Or, pour tout p, Xp = V -1(V Xp) donc (Xp)p∈N converge vers 0. Les nombres complexes zj étant tous de module 1, on en déduit que : ∀j ∈{1,…,n}, aj = 0.


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