273. Soit M ₂(R). Montrer que la classe de similitude de M est connexe par arcs si et seulement si M est diagonalisable.

On rappelle que l’ensemble GL(R) = {M ₂(R)∣detM > 0} est connexe par arcs (c’est une conséquence de l’algorithme du pivot de Gauss).

Soit M ₂ (R ) une matrice diagonalisable. Notons D une matrice diagonale semblable à M. La classe de similitude C de M est celle de D, elle est la réunion des ensembles

L’ensemble C⁺ est connexe par arcs (c’est l’image de GL par la fonction continue P PDP^-1 ). Par ailleurs on a C⁺ = C^- en effet la matrice diagonale E = diag(1,-1) commute avec D, donc pour toute matrice inversible P , on a PDP^-1 = P(EDE^-1)P^-1 = QEQ^-1 avec Q = PE et il est clair que P GL(R)⇐⇒Q GL(R). Ainsi C = C⁺ est connexe par arcs.

Réciproquement, supposons C connexe par arcs. Si l’on conjugue M = par , on obtient Mʹ = . La fonction f : ₂(R) → R, Aa₁₂ - a₂₁ est continue et on a f(M) = -f(Mʹ). Comme C est connexe par arcs, il existe N C tel que f(N) = 0. Cela signifie que N est symétrique réelle, donc diagonalisable. La matrice M, semblable à N, est elle aussi diagonalisable.
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