260. Soit E un C-espace vectoriel de dimension finie n > 0.

a) Montrer que pour tout u ∈ GL(E) il existe un unique polynôme Iu ∈ C[X] de degré minimal tel que u-1 = Iu(u), et justifier que deg Iu < n.

b) Étudier la continuité de u ∈ GL(E)↦→Iu ∈ Cn-1[X].

a) Soient u ∈ GL(E) et πu = Xs + as-1Xs-1 + ⋅⋅⋅ + a0 le polynôme minimal de u. Comme u est inversible, 0 n’est racine de πu et a0 ⁄= 0. On a donc

-1 -1 s-1 s-2 u = -a0(u + as-1u + ⋅⋅⋅+ a1id) = P(u).
Si Q est un autre polynôme de degré au plus s - 1 vérifiant u-1 = Q(u) alors (P - Q)(u) = 0 d’où πu |(P - Q) et, puisque deg(P -Q) < deg(πu), P = Q. Ainsi, il existe un unique polynôme Iu de degré au plus s - 1 vérifiant u-1 = Iu(u), le polynôme
1-πu --a0 Iu = - a0 X .

b) Rappelons qu’un endomorphisme u ∈L(E) est dit cyclique s’il existe a ∈ E tel que (a,u(a),…, un-1 (a)) soit libre et que u cyclique équivaut à πu = χu ou encore à deg(πu) = deg(χu) (où χu est le polynôme caractéristique de u). Si, donc u est cyclique alors πu = χu, a0 = χu(0) = det(u), d’où

--1---χu --det(u) Iu = -det(u) X .

Comme l’ensemble des endomorphismes cycliques est ouvert (car si a ∈ E est tel que (a, u(a), … , un-1 (a)) soit libre alors (a,v(a),…,vn-1(a)) l’est aussi pour tout v ∈L(E) suffisamment proche de u) et u↦→χu est continue (les coefficients de χu sont des polynômes en les coefficients de la matrice de u dans un base quelconque) ainsi que u↦→det(u), l’application u↦→ Iu est continue en tout point de l’ouvert des endomorphismes cycliques inversibles.

Supposons réciproquement I continue en u et considérons une suite vk d’endomorphisme admettant n valeurs propres distinctes et convergeant vers u (l’existence d’une telle suite est classique). Alors vk est cyclique et l’on a Ivk = -de1t(vk)χvk-dXet(vk) d’où, par passage à la limite, Iu = -1 det(u)χu-det(u) X puis deg(πu) = n.

Finalement, I est continue en u si et seulement si u est cyclique.


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