galement résolu par ric Pité, Ivan Gozard et Abdelkader Daouia qui interprètent les degrés des polynômes minimaux comme le rang de la famille des puissances de A et qui montrent que le rang est invariant par extension de corps (grâce à la décomposition matricielle PJ_rQ). La solution qui suit est quasiment identique à celles de Christophe Jan, David Alexander, Colas Bardavid, Laurent Dietrich et Simon Billouet, et enfin François Capacès. Nguyên Hai Châu nous a transmis les deux points de vue (arguments élémentaires qui suivent et arguments de rang).

Par convention, les polynômes minimaux sont unitaires (c’est-à-dire à coefficients dominants valant 1). Notons respectivement μ_R et μ_C les polynômes minimaux de A sur R et C. On va montrer l’identité μ_R = μ_C. Vu la convention sur les coefficients dominants, il suffit de prouver que μ_R et μ_C se divisent mutuellement.

∙ Prouvons que μ_C|μ_R. Cela est clair en examinant μ_R comme un polynôme à coefficients complexes annulant A.

∙ Prouvons que μ_R|μ_C.

Méthode 1. Pour cela, on écrit μ_C = P + iQ avec P et Q à coefficients réels. Comme μ_C est supposé unitaire, le polynôme Q n’a pu hériter du coefficient dominant, ce qui implique l’inégalité deg(Q) < deg (μ_C). Par ailleurs, on a 0 = μ_C(A) = P(A) + iQ(A). Comme A est à coefficients réels, cela donne P(A) = Q(A) = 0. Mais l’inégalité deg(Q) < deg(μ_C) force Q à être nul. Autrement dit, μ_C = P + i0 = P est à coefficients réels. Cela prouve que μ_R divise μ_C.

Méthode 2. L’argument de Colas Bardavid repose sur la remarque suivante : on montre l’égalité μ_C (A) = 0 (car A est à coefficients réels), ce qui implique que μ_C|μ_C. Or par égalité des degrés, on obtient μ_C = μ_C, c’est-à-dire que μ_C est à coefficients réels et donc μ_R |μ_C .
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