a) Montrer que f(N) ⊂ Z.
b) Montrer que f est périodique à partir d’un certain rang.
c) Montrer que, pour tout i {1,…,d}, λi est nul ou racine de l’unité.
a) Écrivons P(X) = akXk + Xd et associons à P , sa matrice compagnon
∀n N , f(n) = λ = tr. Or, pour tout n N, C d, donc f(n) Z.
b) Posons, pour tout n N, F(n) = ) Zd. Sachant que λ1,…,λd sont les racines de P, on a pour tout n N,
| (1) |
De plus, ∀n N , ≤n ≤ d, donc F est une application de l’ensemble infini N dans l’ensemble fini [ [ - d,d]]d et F n’est pas injective. Il existe donc deux entiers naturels p,q tels que p < q et F(p) = F(q). Alors, une récurrence immédiate fondée sur (1) montre que ∀n N, F(n + p) = F(n + q). Ainsi la suite nN est (q -p)-périodique à partir du rang p. Il en est a fortiori de même pour la suite nN.
c) Soit r un multiple de q - p supérieur ou égal à p. Sachant que r est une période de la suite nNà partir du rang p, on a :
| (2) |
La série entière f(nr)xn a un rayon de convergence supérieur ou égal à 1 car pour tout n, ≤ d . Notons S(x) sa somme pour x ] - 1,1[. On a d’une part d’après (2)
ce qui assure l’égalité de fractions rationnelles :
L’unicité de la décomposition d’une fraction rationnelle en éléments simples entraîne que pour tout i [ [ 1, d]] tel que λi≠0, λ = 1, donc λi Ur, où Ur désigne l’ensemble des racines re de l’unité. Plus précisément, soit s = card (s est l’ordre de multiplicité de 0 comme racine de P). On a alors f(r) = d - s.
Remarque. Le résultat énoncé en c) est un théorème attribué à Kronecker.
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