237. Soient λ1 , d des nombres complexes de module au plus 1, P = ∏d

i=1(X - λi). Pour n ∈ N , soit f(n) = ∑d

i=1λin. On suppose que P ∈ Z[X].

a) Montrer que f(N) Z.

b) Montrer que f est périodique à partir d’un certain rang.

c) Montrer que, pour tout i ∈{1,,d}, λi est nul ou racine de l’unité.

a) Écrivons P(X) = d-1
∑
k=0akXk + Xd et associons à P , sa matrice compagnon

     (                   )
       0 0  ...  0   - a0
     || 1 0  ...  0   - a1 ||
CP = || 0 1  ...  0   - a2 ||
     |( ...  ...      ...    ...  |)
       0 0  ...  1  - a
                      d-1
et χCP (X) = det (XIn - CP) le polynôme caractéristique de CP. En développant le déterminant selon la première ligne et en réitérant le procédé, on vérifie aisément que χP = P . Les valeurs propres de CP forment donc la suite (λi)1id et pour tout n ∈ N, celles de de CnP forment la suite (λni)1id. Ainsi

n ∈ N , f(n) = ∑d

i=1λni = tr(CnP ). Or, pour tout n ∈ N, CnP ∈Md(Z), donc f(n) ∈ Z.

b) Posons, pour tout n ∈ N, F(n) = (f(n),...,f(n + d- 1)) ∈ Zd. Sachant que λ1,d sont les racines de P, on a pour tout n ∈ N,

F(n)⋅Cp = (f(n + 1),...,f(n + d- 1),f(n+ d)) = F (n + 1).
(1)

De plus, n ∈ N , |f(n)|∑d

i=1|λi|n d, donc F est une application de l’ensemble infini N dans l’ensemble fini [ [ - d,d]]d et F n’est pas injective. Il existe donc deux entiers naturels p,q tels que p < q et F(p) = F(q). Alors, une récurrence immédiate fondée sur (1) montre que n ∈ N, F(n + p) = F(n + q). Ainsi la suite (F(n))n∈N est (q -p)-périodique à partir du rang p. Il en est a fortiori de même pour la suite (f(n))n∈N.

c) Soit r un multiple de q - p supérieur ou égal à p. Sachant que r est une période de la suite (f(n)) n∈Nà partir du rang p, on a :

      *
∀k ∈ N ,f (kr) = f (r).
(2)

La série entière +∞∑

n=0f(nr)xn a un rayon de convergence supérieur ou égal à 1 car pour tout n, |f(nr)| d . Notons S(x) sa somme pour x ∈] - 1,1[. On a d’une part d’après (2)

               +∑∞
∀x∈]-1,1[,    S(x) = d +   f(r)xn = d+ f(r)--x--= d - f(r)+  f(r)-
               n=1               1- x             1- x
et d’autre part
              +∑∞ (∑d    )      ∑d +∑∞         ∑d
∀x∈]-1,1[,   S(x) = d +       λrni  xn =       (λrix)n =    --1-r--
              n=1  i=1          i=1n=0        i=1 1- λix
d’où
                                d
∀x ∈ ]- 1,1[, d - f(r) + f(r)-= ∑  ---1---
                        1- x   i=11 - λrix

ce qui assure l’égalité de fractions rationnelles :

                  d
d - f (r)+-f(r)-= ∑   ---1---⋅
         1 - X   i=1 1- λriX

L’unicité de la décomposition d’une fraction rationnelle en éléments simples entraîne que pour tout i ∈ [ [ 1, d]] tel que λi0, λri = 1, donc λi ∈ Ur, où Ur désigne l’ensemble des racines re de l’unité. Plus précisément, soit s = card{i ∈ [[1,d]] | λi = 0} (s est l’ordre de multiplicité de 0 comme racine de P). On a alors f(r) = d - s.

Remarque. Le résultat énoncé en c) est un théorème attribué à Kronecker.
[Liste des corrigés]