228. Soit G un groupe fini. Pour x ∈ G, on note x la classe de conjugaison de x :

x= {gxg-1 ; g ∈ G} ; on dit que x est ambivalent si x-1 ∈x.

a) Montrer que si une classe de conjugaison contient un élément ambivalent, alors tous ses éléments le sont.

b) Pour x ∈ G, soit ρ(x) le nombre de g ∈ G tels que g2 = x. Montrer que |1G| ∑ x∈Gρ(x)2 est le nombre de classes de conjugaison ambivalentes de G.

a) Soit γ une classe de conjugaison qui contient un élément ambivalent u. Soit h ∈ G tel que u = hu-1 h-1 . Soit v ∈ γ et posons v = lul-1. On vérifie que v = (lhl-1)v-1(lhl- 1)-1, ainsi v est ambivalent.

b) Notons Γ l’ensemble des classes ambivalentes. Alors, en désignant par δ le symbole de Kronecker,

1∑ 1 ∑ (∑ )2 1 ∑ ∑ ρ(x)2= --- δ(ℓ2 = x) = --- δ(ℓ2 = x)δ(h2 = x) |G|x∈G |G|x∈G ℓ∈G |G|x∈G (ℓ,h)∈G2 -1- ∑ 2 2 = |G| δ(h = ℓ ) (ℓ,h)∈G2 = -1- ∑ δ(h2 = huhu ) enposantℓ = hu |G|(h,u)∈G2 ∑ ∑ ∑ ∑ = -1- δ(u = hu -1h-1) =-1 δ(u = hu -1h-1) |G|(h,u)∈G2 |G|γ∈Γu∈γ h∈G
Soient γ ∈ Γ et u ∈ γ. Considérons l’application ϕ : G → γ, h↦→hu-1h-1. L’application ϕ est surjective et on vérifie aisément que chaque pré-image a le même cardinal
| | |ϕ- 1({x})| = |G|, |γ|
d’où
∑ ∑ ∑ -1- ρ(x)2 = 1-- |G|= |Γ | |G |x∈G |G |γ∈Γu∈γ|γ|

Reformulation. Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes suivant le loi uniforme sur G. On a alors P(X2 = Y 2) = ||GΓ ||. En effet

P(X2 = Y 2) = -1- ∑ δ(h2 = ℓ2) = |Γ | |G|(ℓ,h)∈G2 |G |

d’après le calcul précédent.


[Liste des corrigés]


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