227. Soit p ≥ 3 un nombre premier. On définit l’application v de Q dans Z ∪{+∞} en posant v(0) = +∞ et, si (a,b,k) ∈ Z*× Z*× Z vérifie a ∧ b = ab ∧ p = 1, v( ka) p b = k.

a) Pour (x, y) ∈ Q2, montrer que v(xy) = v(x) + v(y),v(x + y) ≥ min(v(x),v(y)).

b) Pour n ∈ N * , montrer que v(n!) < -n- p-1.

c) Soit P = ∑ k∈NakXk ∈ Q[X]. Pour i ∈ N, soit v(i)(P) = min{v(aj);j ∈ N,j ≥ i}. On fixe m ∈ N , R = (X - m)P . Montrer que ∀i ∈ N,v(i+1)(R) ≥ v(i)(P).

d) Soient (dn )n∈N ∈ ZN et, pour n ∈ N, bn = ∑n k=0(n k) dkpk. Montrer que, si la suite (bn)n∈N s’annule une infinité de fois, elle est identiquement nulle.

a) Notons que si (a,b,k) ∈ Z*× Z*× Z vérifie b ∧ p = 1 alors v( ) pkab≥ k.

Supposons x = piab et y = pjcd avec a ∧ b = c ∧ d = (abcd) ∧ p = 1. Alors

v(xy) = v(pi+jac) = i+ j = v(x)+ v(y). bd

De plus, si i ≤ j, alors x + y = piad+pj-ibc bd et on a (bd) ∧ p = 1 donc v(x + y) ≥ i.

b) Nous utiliserons la formule de Legendre qui affirme que pour tout entier n ∈ N* et tout nombre premier p on a

⌊ ⌋ +∑∞ -n v(n!) = pk k=1

Preuve Pour 1 ≤ k ≤ N = ⌊ ⌋ lnn- lnp, le nombre des multiples de pk compris entre 1 et n est ck = ⌊n⌋ pk et celui des entiers multiples de pk mais pas de pk+1 est ck -ck+1 (où cN+1 = 0). On a donc

N N N+1 N ⌊ ⌋ v(n!)= ∑ k(c - c ) = ∑ kc - ∑ (k- 1)c = ∑ -n . k=1 k k+1 k=1 k k=2 k k=1 pk

On peut alors majorer

+∑∞ -n --n-- v(n!) < pk = p - 1 . k=1

L’inégalité est stricte car ⌊ ⌋ nk p = 0 pour k assez grand.

c) On a R = ∑ kbkXk avec ∀k,bk = ak-1 - mak (avec a-1 = 0). Comme pour k ≥ i on a v(aj ) ≥ v(i) (P) on déduit de a) que, pour tout k ≥ i, on a v(bk+1) ≥ v(i)(P) soit v(i+1) (R) ≥ v(i) (P).

d) Considérons la base des polynômes de Hilbert définis par

H0 = 1 et ∀j ≥ 1, Hj = X-(X---1)...(X---j +-1). j!

On peut alors écrire bn = +∑∞ j=0pjdjHj(n) puisque Hj(n) = 0 pour j ≥ n.

Supposons que bn s’annule pour les entiers n1 < n2 < ⋅⋅⋅ < nk et prenons N ∈ N quelconque tel que N > nk . Soit enfin fN = ∑N j=0pjdjHj ∈ Q[X].

On a ainsi ∀n ∈ {0,…,N},bn = fN(n).

En appliquant le c) avec le facteur P = k ∏ i=1(X - ni) au polynôme fN on a

∀n ≤ N, v(b) = v(f (n )) ≥ v(k)(f ) n N N

Or, pour j ≥ k, on a dj ∈ Z donc

( j ) v p-dj ≥ j - v(j!) ≥ j --j--= jp--2-≥ kp--2- j! p- 1 p- 1 p- 1

et donc le coefficient aj de Xj dans fN, qui est combinaison linéaire à coefficients entiers des termes pidi -i!- pour i ≥ j, a aussi une valuation p-adique supérieure à kp- 2 p--1. Finalement

p - 2 ∀n ≤ N, v(bn) = v(fN (n)) ≥ v(k)(fN ) ≥ kp---1

Ceci étant vrai pour tout N assez grand on a ∀n,v(f(n)) ≥ kp-2 p-1.

Comme (bn ) s’annule une infinité de fois ce qui précède s’applique pour tout k ∈ N donc, du fait que p ≥ 3, pour tout n ∈ N, v(bn) = +∞ i.e. bn = 0. On déduit alors par récurrence sur n que bn = 0.

Remarque Ce qui précède est issu de l’article

Le théorème de Skolem-Mahler-Lech par Nicolas Tosel, RMS 1 vol 116 Octobre 2005.
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