220. Soient, pour n ∈ N*, Xi,j, 1 i,j n, des variables aléatoires i.i.d suivant la loi uniforme sur {-1,1}, Mn la matrice aléatoire (Xi,j)1i,jn.

a) Calculer E((    k))
tr (Mn ) pour k ∈{1,2,3,4}.

b) Calculer E(det(Mn )) et E(       2)
 (detMn ).

c) Soit f : R + R telle que f(x) +quand x +.

Montrer que P(              √--)
|det(Mn )| ≥ f(n) n!-→n →+ ∞ 0.

Remarquons que, compte tenu des hypothèses,

s1   s2      sp            s1      s2         sp
E(Xi1,j1X i2,j2 ...X ip,jp) =  E{(X i1,j1)E(Xi2,j2)...E (X ip,jp)
                        1 sitousles sk sontpairs,
                  =     0 sinon
(les couples (ik , jk) étant deux à deux distincts).

a) On a :

      ( n∑     )
E(tr(Mn))=  E      Xi,i  = 0,
        i=1
      (  ∑          )     ∑
E(tr(M2n))=  E (       Xi,jXj,i)  =      E(X2i,i) = n,
        1≤i,j≤n            1≤i≤n
      (                  )
((3))     (   ∑              )
EtrMn=  E          Xi,jXj,kXk,i  = 0,
      ( 1≤i,j,k≤n               )
(())         ∑                         ∑     (       )
EtrM4n=  E (         Xi,jXj,kXk,ℓXℓ,i) =       E  X2i,jX2j,i = n2.
        1≤i,j,k,ℓ≤n                  1≤i,j≤n

b) De la remarque initiale on déduit

              ( ∑       ∏n      )
E(det(Mn ))  =  E (     ε(σ )   Xσ(j),j)  = 0,
                σ∈Sn    j=1
              (                               )
     2        (  ∑            ∏               )
E(det(Mn ))  =  E        ε(σ)ε(η)       Xσ(j),jX η(k),k
                σ,ηn∈Sn       1≤j,k≤n
             ∑   ∏     2
         =         E (Xσ(j),j) = n!
            σ∈Snj=1

c) Par l’inégalité de Markov,

P(      )
|det(Mn)|≥f(n)√n!- = P(det(Mn )2 ≥ f(n)2n!)E(det(M2n)2)
  f(n) n!-→n →+∞ 0.


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