209. Soit f : R → R. On dit que f vérifie (*) si et seulement si :

∀(x, y) ∈ R 2 , f(x + y) = f(x) + f(y).

a) Déterminer les fonctions continues vérifiant (*).

b) Si f vérifie (*) et si f n’est pas linéaire, montrer que le graphe de f est dense dans R2.

c) Déterminer les f vérifiant (*) et pour lesquelles il existe n > 1 tel que :

∀x > 0, f(xn ) = f(x)n.

Solution de François Capacès

a) Soit f vérifiant (*). En spécifiant x = y = 0, on a f(0) = 2f(0) soit f(0) = 0. En spécifiant y = -x, on a f(-x) = -f(x). Une récurrence donne f(nx) = nf(x) pour tout n ∈ N et pour tout x ∈ R . On en déduit

( ) ∀x ∈ R, ∀p ∈ Z, ∀q ∈ N*, f px = p f(x). q q
Autrement dit f est une application linéaire sur R considéré comme Q-espace vectoriel.

En particulier ∀r ∈ Q,f(r) = αr en posant α = f(1).

Supposons f continue sur R. Alors x↦→f(x) - f(1)x s’annule sur Q qui est dense dans R, et est donc nulle sur R . Ainsi f est linéaire.

b) Puisque f n’est pas linéaire, il existe x,xʹ∈ R* tels que f(x) x≠ ʹ f-(x-) xʹ. Les vecteurs u = (x, f(x)) et uʹ = (xʹ,f(xʹ)) forment une base de R2. Le graphe de f contient Qu + Quʹ donc est dense dans R 2 .

c) On suppose que f vérifie (*) et qu’il existe n ≥ 2 tel que (**) : ∀x > 0, f(xn) = f(x)n.

Les applications linéaires vérifiant (**) sont x↦→0, x↦→x et également, pour n impair, x↦→ - x.

Si n est pair, alors ∀x > 0,f(x) = f( 1⁄n) xn est positif ou nul. Donc (1,-1) n’appartient pas à l’adhérence du graphe de f, donc f est linéaire d’après b) .

Si n est impair alors, en utilisant la Q-linéarité de f on a, pour x > 0 et t ∈ Q+*,

(∑n ( ) ) ∑n (( ) ) ∑n ( ) f((x+t)n)=f n xktn-k = f n xktn-k = n tn-kf (xk) k=0 k k=0 k k=0 k ∑n (n ) ∑n (n) =(f(x)+ f(t))n = f(x)kf(t)n-k = f(x)ktn-kf(1)n- k. k=0 k k=0 k
On en déduit que, à x > 0 fixé, les deux polynômes
n ( ) n ( ) ∑ n f (xk) Tn-k et ∑ n f(x )kf(1)n-kTn-k k=0 k k=0 k

coïncident sur Q +*. Ces deux polynômes ont les mêmes coefficients. En particulier pour k = n - 1 ≥ 2, on a nf( ) xn-1 = nf(x)n-1f(1) et ce pour tout x > 0. Comme n- 1 est pair, on a f(xn-1) du signe de f(1) et de nouveau le graphe de f ne saurait être dense dans R2. Donc f est linéaire.
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