172. Soit (Xn )n1 une suite i.i.d de variables aléatoires à valeurs dans R+. On suppose que, pour tout x ∈ R +, P(X1 x) > 0.

Montrer l’équivalence entre les conditions suivantes :

i) pour tout réel α > 1, on a P(X1 αx)=x→+ ∞ o(P(X1 x)) ;

ii) il existe une suite (bn)n1 divergeant vers + et telle que, pour tout ε > 0,

P(||
|1bn max1inXi - 1||
| > ε)-→n →+∞ 0.

Dans tout ce qui suit, on notera G(x) = P(X1 x). La fonction G est une sorte de fonction de répartition à l’envers . Elle jouit de propriétés similaires : elle est décroissante, tend vers 1 en - ∞ et vers 0 en + .

D’autre part, il sera commode de noter (notation de Hardy) la relation de négligeabilité : f g⇐⇒ f = o(g).

  Supposons la propriété i vérifiée : pour tout α > 1, G(αx) G(x) au voisinage de + . Elle s’écrit aussi : G(x) G(θx) pour tout θ = 1⁄α < 1.

Soit b > 0 et ε > 0, on a, pour tout n ∈ N*,

(||1    ||   )     (                   )   (                   )
P|bmax1≤i≤nXi- 1| > ε = P max1≤i≤n Xi > (1+ ε)b +P max1 ≤i≤n Xi < (1- ε)b .
Grâce au caractère i.i.d. de la suite (Xn), on a, pour tout x,
(           )
Pmax     X  < x  = P(X  < x)⋅⋅⋅P(X  < x) = (1 - G(x))n
 1≤i≤n  i           1           n
et
(   )    (               )       (               )
PmaxX> x  ≤ P  max     X  ≥ x  = 1- P max      X < x  = 1- (1- G(x))n.
1≤i≤ni             1≤i≤n  i                1≤i≤n  i
Par conséquent
(||1        ||   )      [     (      )]n  [     (      )]n
P|bmax1≤i≤n Xi - 1| > ε ≤ 1- 1- G  (1 + ε)b   +  1 - G (1- ε)b   .
(1)

Définissons une suite (bn) vérifiant la propriété ii. L’idée : on voudrait que G(bn) = 1⁄n, ce qui donnerait : (1 - G(bn))n e-1, (1 -G(αbn))n 1 si α > 1 (car G(αbn) G(bn) = 1⁄n) et (1 - G(αbn ))n 0 si α < 1. Malheureusement G n’est pas continue a priori, donc 1⁄n ne possède pas nécessairement d’antécédent. On contourne cette difficulté en posant, pour tout entier n 2,

       {               }
bn = inf x ∈ R | G(x) ≤ 1-.
                      n
Il en résulte (par décroissance de G) que : x > bn, G(x) 1⁄n et x < bn, G(x) > 1⁄n.

Comme G décroit vers 0 en + , la suite (bn) tend vers + . partir d’un certain rang n0, on a bn > 0. Dans toute la suite, on impose n n0.

Soit ε ∈ ]0, 1[ . On a G((1 + ε)bn)1⁄n donc [1 - G((1 + ε)bn)]n (1 - 1⁄n)n e-1. Mieux :

(    )     ((     )  )
G(1+ ε)bn  ≪ G   1+  ε bn ≤  1-     (carα = 1-+-εε > 1),
                 2       n             1 + 2
donc G((1 + ε)bn)1⁄n. On en déduit que
    [    (        )]      (        )
n ln 1- G (1+ ε)bn  ~ - nG (1+ ε)bn → 0,
c’est-à-dire : [1 - G((1 + ε)bn)]n 1 quand n +. De façon similaire, on a
               ((     )  )
G((1- ε)bn) ≫ G  1 - ε bn  > 1-
                     2       n
d’où
   [              ]
n ln 1 - G((1- ε)b ) ~ - nG ((1- ε)b ) → - ∞,
                 n               n
c’est-à-dire : [1 - G((1 - ε)bn)]n 0. Finalement, vu l’inégalité (1),
  (||1               ||   )
P  |b-max1≤i≤n Xi - 1| > ε -n-→-+--→∞ 0.
    n

  Supposons réciproquement qu’il existe une suite (bn) tendant vers + (et qu’on peut supposer strictement positive), vérifiant la propriété ii.

Il en résulte d’une part que, pour tout ε ∈ ]0,1[,

[   (       )]n    (                     )
1- G (1 - ε)bn  = P  max1≤i≤n Xi < (1 - ε)bn → 0;
en passant au logarithme, cela revient à dire que G((1 - ε)bn)1⁄n. Il en résulte également que pour tout ε > 0,
 (                      )
P max1 ≤i≤nXi ≥ (1+ ε)bn  →  0
(on peut mettre une inégalité large, quitte à jouer avec ε et ε⁄2), et on en déduit de même que G((1 + ε)bn)1⁄n. Ainsi, pour tout ε ∈ ]0,1[, on a
  (       )   1-    (        )
G  (1+ ε)bn  ≪ n ≪  G (1- ε)bn.
Au rang n + 1 on a aussi bien
 (          )   -1---    (         )
G (1+ ε)bn+1 ≪  n+ 1 ≪ G  (1 - ε)bn+1 .
Comme 1
n ~1
n+1, on en déduit que
()    (          )          (         )     (       )
G(1+ε)bn ≪  G (1- ε)bn+1    et   G  (1+ ε)bn+1  ≪ G (1 - ε)bn .
Par décroissance de G, on aura donc, pour n assez grand : (1 + ε)bn > (1 - ε)bn+1 et (1 + ε)bn+1 > (1 - ε)bn. Ainsi, pour n assez grand il vient
1- ε   bn+1   1+ ε
1+-ε-< -b-- < 1--ε.
         n
Les nombres 1-ε
1+ε et son inverse étant arbitrairement proches de 1 lorsque ε est petit, on a prouvé que la suite (bn+1 ⁄bn ) tend vers 1.

Établissons maintenant la propriété i. Soit α > 1. L’idée : on va trouver un ε > 0 (dépendant de α) et des entiers n = n(x) (dépendant de α et x) tels que, pour x assez grand :

αx ≥ (1+ ε)b  > (1- ε)b  ≥ x,
           n         n
(2)

ce qui entraînera :

          (       )   1     (       )
G (αx ) ≤ G (1 +ε)bn ≪ n-≪ G  (1 - ε)bn  ≤ G(x).

Fixons pour cela un réel β tel que 1 < β < α. Soit x assez grand, disons x > b0. On approche βx par un bn de façon à obtenir αx > βx bn > x, puis on trouvera un ε vérifiant (2). Plus précisément, il existe n = n(x) tel que bn(x) βx bn(x)+1 (on peut prendre par exemple le dernier entier tel que bn x, cet entier existe car la suite (bn) diverge vers + ). Il est clair que n(x) +quand x +. On a :

αx≥α>1    et    -x--≤  bn(x)+1-,   avec  bn(x)+1-----→  1< 1.
bn(x)β           bn(x)   βbn(x)           βbn(x) x→+ ∞  β
Fixons alors un réel ε > 0 tel que αβ 1 + ε et 1β < 1 - ε. Alors pour x assez grand, il vient
-αx- ≥ α-≥ 1+ ε    et   --x- ≤ bn(x)+1 < 1- ε.
bn(x)   β                bn(x)   βbn(x)
Alors (2) est vérifié, et cela entraîne : G(αx) G(x).
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