Montrer l’équivalence entre les conditions suivantes :
i) pour tout réel α > 1, on a P(X1 ≥ αx) oP(X1 ≥ x) ;
ii) il existe une suite (bn)n≥1 divergeant vers + ∞ et telle que, pour tout ε > 0,
P max1≤i≤nXi - 1 > ε 0.
Dans tout ce qui suit, on notera G(x) = P(X1 ≥ x). La fonction G est une sorte de ≪ fonction de répartition à l’envers ≫. Elle jouit de propriétés similaires : elle est décroissante, tend vers 1 en - ∞ et vers 0 en + ∞.
D’autre part, il sera commode de noter ≪ (notation de Hardy) la relation de négligeabilité : f ≪ g⇐⇒ f = o(g).
∙ Supposons la propriété i vérifiée : pour tout α > 1, G(αx) ≪ G(x) au voisinage de + ∞. Elle s’écrit aussi : G(x) ≪ G(θx) pour tout θ = 1⁄α < 1.
Soit b > 0 et ε > 0, on a, pour tout n N*,
| (1) |
Définissons une suite (bn) vérifiant la propriété ii. L’idée : on voudrait que G(bn) = 1⁄n, ce qui donnerait : (1 - G(bn))n → e-1, (1 -G(αbn))n → 1 si α > 1 (car G(αbn) ≪ G(bn) = 1⁄n) et (1 - G(αbn ))n → 0 si α < 1. Malheureusement G n’est pas continue a priori, donc 1⁄n ne possède pas nécessairement d’antécédent. On contourne cette difficulté en posant, pour tout entier n ≥ 2,
Comme G décroit vers 0 en + ∞, la suite (bn) tend vers + ∞. partir d’un certain rang n0, on a bn > 0. Dans toute la suite, on impose n ≥ n0.
Soit ε ]0, 1[ . On a G(1 + ε)bn≤ 1⁄n donc 1 - G(1 + ε)bnn ≥ (1 - 1⁄n)n → e-1. Mieux :
∙ Supposons réciproquement qu’il existe une suite (bn) tendant vers + ∞ (et qu’on peut supposer strictement positive), vérifiant la propriété ii.
Il en résulte d’une part que, pour tout ε ]0,1[,
Établissons maintenant la propriété i. Soit α > 1. L’idée : on va trouver un ε > 0 (dépendant de α) et des entiers n = n(x) (dépendant de α et x) tels que, pour x assez grand :
| (2) |
ce qui entraînera :
Fixons pour cela un réel β tel que 1 < β < α. Soit x assez grand, disons x > b0. On approche βx par un bn de façon à obtenir αx > βx ≈ bn > x, puis on trouvera un ε vérifiant (2). Plus précisément, il existe n = n(x) tel que bn(x) ≤ βx ≤ bn(x)+1 (on peut prendre par exemple le dernier entier tel que bn ≤ x, cet entier existe car la suite (bn) diverge vers + ∞). Il est clair que n(x) → +∞ quand x → +∞. On a :
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