161. a) Soit A une partie de Rⁿ. Soit x dans l’enveloppe convexe de A. Montrer que x peut s’écrire comme combinaison convexe d’une famille de n + 1 points de A.

b) On munit R ⁿ de sa structure euclidienne standard. Soit T une partie de la boule unité fermée, et x un point de l’enveloppe convexe de T . Montrer que pour tout k N^* il existe une liste (x₁ , … , x_k ) T^k telle que x -x_i≤⋅

Ind. Introduire des points deux à deux distincts y₁,…,y_p de T et des réels positifs λ₁,…,λ_p tels que x = λ_iy_i et 1 = λ_i, puis considérer une variable aléatoire X telle que P(X = y_i ) = λ_i pour tout i [[1,p]].

a) L’enveloppe convexe de A est constituée de toutes les combinaisons convexes de points de A, c’est-à-dire de tous les vecteurs de la forme λ_ix_i où les λ_i sont positifs et de somme 1, et les x_i sont dans A. Pour montrer le résultat demandé, il suffit de vérifier que toute combinaison convexe de p ≥ n + 2 vecteurs est encore combinaison convexe de p - 1 vecteurs.

Supposons donc que x = λ_ix_i où les x_i sont dans A, les λ_i sont positifs et de somme 1 et p ≥ n + 2. Si l’un des λ_i est nul, alors la question est résolue. Dans la suite, on supposera que tous les λ_i sont strictement positifs.

Soit l’ensemble des p-uplets (μ₁,μ₂,…,μ_p) tels que μ_ix_i = 0. est un espace vectoriel, noyau d’une application linéaire à valeurs dans Rⁿ, donc la dimension de est supérieure ou égale à p - n ≥ 2. Donc il existe un élément non nul de qui est de plus dans l’hyperplan μ_i = 0. On dispose donc d’une relation de liaison

Alors pour tout t R, on a x = (λ_i + tμ_i)x_i. Pour tout t R on a (λ_i + tμ_i) = 1 et pour t assez petit, chaque λ_i + tμ_i reste strictement positif. On choisit alors un t ≪ limite ≫, plus petit (en valeur absolue) pour lequel il existe i tel que λ_i + tμ_i = 0. Pour un tel t, chaque λ_i + tμ_i est positif, l’un est nul. Donc x est combinaison convexe d’au plus p - 1 vecteurs.

b) Commençons par le cas où k = 1. On écrit comme suggéré x = λ_iy_i, et on considère donc une variable aléatoire X définie sur un univers fini Ω, à valeurs dans {y₁,…,y_p} et dont la loi est caractérisée par P(X = y_i) = λ_i pour tout i [[1,p]]. Alors x = E(X). Comme ∥X∥≤ 1, on a alors

Mais, par la formule de l’espérance, on a E⟨x,X⟩ = ⟨x,E(X)⟩ = ∥x∥², donc Donc il existe ω Ω tel que ∥x - X(ω)∥² ≤ 1 -∥x∥² ≤ 1. C’est le résultat recherché pour k = 1.

Pour k quelconque, on considère des variables aléatoires X₁,…,X_k, mutuellement indépendantes et de même loi que X ; on pose alors Y _k = X_i. On a encore E(Y _k) = x. En développant comme ci-dessus, on obtient maintenant :

Or, E⟨Y _k,Y _k⟩ = E⟨X_i,X_j⟩ ; et E⟨X_i,X_i⟩ = E(∥X_i∥²) ≤ 1 tandis que, par indépendance, E⟨X_i,X_j⟩ = ⟨E(X_i),E(X_j)⟩ = ∥x∥² si i≠j. Il vient alors

On conclut alors de la même façon que pour k = 1.
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