141. Déterminer la limite de 1- A∫ A 1A1⁄x d x lorsque A tend vers + ∞.

Voici deux solutions différentes.

Solution par Philippe Agnès

Notons, pour tout A > 1, f(A) = 1A-∫ A 1A1⁄x d x.
On va montrer que la limite de f(A) quand A tend vers + ∞ vaut 1.

Par le changement de variable u = ln(A) x on obtient :

∫ ln(A ) u f(A ) = ln(A) e-du. A ln(AA) u2

On écrit f(A) = g(A) + h(A) avec

∫ ∫ g(A)= ln(A-) 1 eu du et h(A) = ln-(A-) ln(A)eu du. A ln(AA)u2 A 1 u2

∙ tude de g(A) :

L’intégrale ∫1 0eu-1-u u2 d u converge et

∫ 1 u ∫ 1 u ∫ 1 -e du = e---1-- u-du + 1+-u-du. lnA(A)u2 ln(AA) u2 ln(AA) u2
Le premier terme a une limite quand A tend vers + ∞ car ln(A ) --A- tend vers 0. Le deuxième vaut Aln(A)- 1 + ln ( ) lnA(A). Par croissance comparée ce terme équivaut à lAn(A) quand A tend vers + ∞.

Ainsi ∫ 1 ln(A) Aeu u2 d u équivaut à -A-- ln(A) et donc g(A) tend vers 1 quand A tend vers + ∞.

∙ tude de h(A) :

Par une intégration par parties :

∫ln(A)eu [eu ]ln(A) ∫ ln(A)eu --A--- ∫ ln(A)-eu 1u2du = u2 + 2 1 u3 du = ln2(A) - e+ 2 1 u3 du. 1
Puis
∫ ln(A) u ∫ ln(A) u ( ) e-du = 2 e- du+ o --A-- . 1 u2 1 u3 ln(A )

En étudiant la fonction φ : u↦→eu u3 sur [1,+∞[, on constate que sur [1,ln(A)], elle est positive et majorée par la plus grande des valeurs entre φ(1) et φ(ln(A)) = -A--- ln3(A ).

On en déduit que pour A assez grand :

∫ ln(A) u ( ) 0≤ e- du ≤ (ln(A)- 1)-A--- = o -A--- . 1 u3 ln3(A) ln(A )
Donc ∫ln(A) 1euu3 du = o( ) lnA(A), puis ∫ ln(A ) 1euu2- d u = o( ) lnA(A) et h(A) = o(1) et donc h(A) tend vers 0 quand A tend vers + ∞.

Ainsi la limite de A1∫ A 1A1⁄x d x quand A tend vers + ∞ est 1.

Solution par ric Pité

La fonction h : x↦→A1⁄x est définie et continue sur [1,+∞[ et est positive et décroissante.

On a donc, pour A > 1 :

1 ⌊A∑⌋+1 1 ∫ A 1∑⌈A⌉ A- h(k) < A A1⁄xdx < A- h (k). k=2 1 k=1

Le plus petit entier supérieur (resp. inférieur) ou égal à A est noté ⌈A⌉ (resp. ⌊A⌋).

Or lim x→+∞ h(x) = 1.

Ainsi, d’après le théorème de Cesàro

⌊A⌋+1 ⌈A⌉ -1--∑ -1--∑ Al→im+ ∞ ⌊A⌋ h(k) = A→li+m∞ ⌈A⌉ h(k) = 1. k=2 k=1

De plus lim A→+∞A-- ⌈A ⌉ = limA→+∞A-- ⌊A ⌋ = 1, donc limA→+∞1- A∫ A 1A1⁄xdx = 1.

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