138. Existe-t-il une fonction g : R+ → R telle que, pour toute fonction f : R → R somme d’une série entière, on ait f(x) = o(g(x)) quand x tend vers + ∞ ?

Solution de Laurent Bonavero

La réponse est négative et nous en proposons deux démonstrations, dont la première est proposée par Laurent Bonavero.

Première solution

Cela découle immédiatement du :

Lemme 1.Pour toute suite (ck)k ∈ RN+, il existe une fonction f : R → R, somme d’une série entière, vérifiant : ∀k ∈ N, f(k) ≥ ck.

Preuve. Soit (nk )k∈N* ∈ NN* strictement croissante telle que ( ) k+k1nk ≥ c k+1. La série entière c0 + +∞∑ i=1() xini a un rayon de convergence infini puisque, pour tout r > 0, limi→+∞( ) rini = 0, et sa somme f vérifie f(0) ≥ c0 ainsi que, pour tout k ∈ N,

(k + 1)nk f(k + 1) ≥ ----- ≥ ck+1. k

Seconde solution

L’idée est similaire, mais on se propose de prouver un théorème d’interpolation plus précis :

Théorème 1.Pour toute suite (cn)n ∈ RN, il existe une fonction f : R → R, somme d’une série entière, vérifiant : ∀n ∈ N, f(n) = cn.

Cet énoncé, et sa preuve, sont directement inspirés du théorème d’interpolation général qu’on peut lire dans le Rudin ([RU], théorème 15.13), lui-même corollaire du théorème de Mittag-Leffler. Nous aurons besoin du lemme suivant :

Lemme 2.Pour tout p ∈ N, x↦→sinp(-πxx) est développable en série entière sur R.

Preuve. On a

sin(πx) sin(π(p- x)) +∑∞ (- 1)k - = (- 1)p+1---------- = (- 1)p+1 --------(p - x)2k p-x p - x k=0(2k+ 1)! +∑∞ (- 1)k ∑2k (2k) = (- 1)p+1 (2k-+-1)! (- 1)j j p2k-jxj k=0 j=0
Or un calcul similaire montre que
+∑∞ ∑2k ( ) ---1---- 2k p2k-j|x|j = sh(p+-|x-|) < +∞. k=0j=0(2k+ 1)! j p+ |x |
Donc, par le théorème de sommation par paquets :
+∞ ( +∞ ( ) ) sin(πx)-= (- 1)p+1∑ (- 1)j( ∑ -(- 1)k- 2k p2k-j) xj p-x j=0 k=⌈j⁄2⌉ (2k + 1)! j

Preuve du théorème. Soit (cn)n∈N ∈ RN. Choisissons, pour chaque n ∈ N*, un entier mn vérifiant (1-1) nmn+1 ≤n1--- 2|cn|. Pour des raisons de simplicité de rédaction, on supposera sans perte de généralité que la suite (mn) est croissante. Posons :

{sin(πx) [c0- ∑+ ∞ n+1 (-1- ∑mn -xk-)] f(x)= π x + n=1(- 1) cn n-x - k=0 nk+1 six ⁄∈ N cn six = n ∈ N

Montrons que cette fonction est bien définie et continue. Soit N ∈ N*.

Pour x ∈ [-(N - 1),N - 1], et n ≥ N, on a

||mn∑k || || +∑ ∞ k || +∑∞ k ( )mn+1 ||1-xk+1||= || -xk+1-||≤ (n--k+11)-= 1- 1- ≤ -n1-- |n-xk=0n | |k=mn+1 n | k=mn+1 n n 2 |cn|

On en déduit que la série de fonctions

+ ∞ ( mn ) ∑ (- 1)n+1cn --1--- ∑ -xk-- n=N n - x k=0 nk+1
converge normalement relativement à x ∈ [-(N - 1),N - 1], donc que f est bien définie et continue sur ] - (N - 1),N - 1[\N. En outre, étant donné p ∈]] - (N - 1),N - 1[[, on peut pour x ∈ [-(N - 1), N - 1] \ N écrire f(x) comme somme de (-1)p+1cpsin(πx) --π-- 1 p-x et d’une fonction continue de x multipliée par sin(πx). Donc f(x)-→x→pcp. Ainsi, l’application f est bien définie et continue.

En outre, toujours pour x ∈ [-(N - 1),N - 1], puisque +∞ ∑ k=m +1 n|cn||x|k- nk+1 ≤-1 2n, la famille (xk) cnnk+1n≥N,k>mn est sommable et l’on a :

+∞ ( m ) +∞ ( ) ∑(-1)n+1c -1---- ∑n -xk-- = ∑ ( ∑ -1--) xk n=N n n- x k=0 nk+1 k=m +1 n;n≥N,m <k nk+1 N n

Par le théorème de Cauchy, l’application

+∑∞ ( 1 m∑n xk ) x ↦→ sin(πx) (- 1)n+1cn ----- - -k+1- n=N n - x k=0 n

est développable en série entière sur [-(N - 1),N - 1].

Or, par le lemme, il en est de même de l’application

N∑-1 ( ∑mn k ) x ↦→ sin(πx) (- 1)n+1cn --1-- - -x--- n=0 n - x k=0 nk+1

Donc f est développable en série entière sur [-(N - 1),N - 1]. Ceci étant vrai pour tout N ∈ N*, f est développable en série entière sur R (par unicité du développement en série entière, les coefficients du développement en série entière sur [-(N - 1),N - 1] sont indépendants de N).

[RU] Walter Rudin, Analyse réelle et complexe, Dunod 3e édition.


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