Solution de Julien Bureaux
On va montrer que f est développable en série entière avec un rayon de convergence infini. Pour tous k, n entiers naturels, notons ak(n) le coefficient de degré k du polynôme Pn. Par hypothèse, on sait que pour tout réel r > 0,
Puisque les coefficients sont positifs, on a en particulier, pour tous k,n entiers naturels, 0 ≤ ak (n)rk ≤ Mr, où Mr = supnNPn(r) < +∞.
En prenant r = 1, on constate que chacune des suites nak(n) est bornée, donc admet une valeur d’adhérence dans +. Par extraction diagonale6 , on dispose alors d’une extractrice ϕ : N → N et d’une suite b = (bk)kN telles que :
Compte tenu des inégalités précédentes, on a encore 0 ≤ bkrk ≤ Mr quels que soient r > 0 et k entier naturel, donc la série entière suivante est de rayon de convergence infini :
Il reste à justifier que f = g, ce qui se ramène à un résultat de convergence dominée pour les séries qu’on détaille rapidement. Soit x un réel et ε > 0. Considérons un réel r > 0 tel que r ≥ 2|x|. Alors pour tous entiers K ≥ 0 et n ≥ 0, on a :
Quitte à choisir K assez grand, on aura donc par inégalité triangulaire :
d’où |f(x) - g(x)|≤ ε par passage à la limite. Ceci étant vrai quel que soit ε > 0, on en déduit que
f(x) = g(x).
Remarque. Par unicité des coefficients d’une série entière, il n’est pas difficile de montrer que les
suites n ak (n) ont une unique valeur d’adhérence, donc qu’elles sont convergentes. En reprenant
les arguments précédents on montre alors que, sur tout segment de , la suite (Pn) converge
uniformément vers f à une vitesse plus rapide que toute suite géométrique. Il en va de même pour
les dérivées successives.
[Liste des corrigés]