127. Soit f une fonction de R dans R. On suppose qu’il existe une suite (Pn)n0 de polynômes à coefficients dans R+ convergeant simplement vers f sur R. Montrer que f est de classe C sur R .

Solution de Julien Bureaux

On va montrer que f est développable en série entière avec un rayon de convergence infini. Pour tous k, n entiers naturels, notons ak(n) le coefficient de degré k du polynôme Pn. Par hypothèse, on sait que pour tout réel r > 0,

       +∞
P (r) = ∑ a (n)rk -- --→  f(r).
 n     k=0 k     n→ ∞

Puisque les coefficients sont positifs, on a en particulier, pour tous k,n entiers naturels, 0 ak (n)rk Mr, où Mr = supn∈NPn(r) < +.

En prenant r = 1, on constate que chacune des suites n↦→ak(n) est bornée, donc admet une valeur d’adhérence dans R+. Par extraction diagonale6 , on dispose alors d’une extractrice ϕ : N N et d’une suite b = (bk)k∈N telles que :

∀k ∈ N,  ak(ϕ(n)) --n-→-∞→ bk.

Compte tenu des inégalités précédentes, on a encore 0 bkrk Mr quels que soient r > 0 et k entier naturel, donc la série entière suivante est de rayon de convergence infini :

       +∞
g(x) = ∑  bkxk.
       k=0

Il reste à justifier que f = g, ce qui se ramène à un résultat de convergence dominée pour les séries qu’on détaille rapidement. Soit x un réel et ε > 0. Considérons un réel r > 0 tel que r 2|x|. Alors pour tous entiers K 0 et n 0, on a :

||K∑           ||   ∑+∞               ||      ∑K     ||
||Pϕ(n)(x)-  ak(ϕ (n ))xk||≤       Mr- = Mr-,   ||g(x)-    bkxk||≤ Mr-.
|k=0         |  k=K+1 2k    2K     |      k=0    |  2K

Quitte à choisir K assez grand, on aura donc par inégalité triangulaire :

                      |                     |
     |            |   ||∑K             ∑K     ||
∀n∈N,  |Pϕ(n)(x)- g(x)| ≤ ||  ak(ϕ(n))xk -    bkxk||+ ε,
                      k=0            k=0

d’où |f(x) - g(x)|ε par passage à la limite. Ceci étant vrai quel que soit ε > 0, on en déduit que f(x) = g(x).

Remarque. Par unicité des coefficients d’une série entière, il n’est pas difficile de montrer que les suites n↦→ ak (n) ont une unique valeur d’adhérence, donc qu’elles sont convergentes. En reprenant les arguments précédents on montre alors que, sur tout segment de R, la suite (Pn) converge uniformément vers f à une vitesse plus rapide que toute suite géométrique. Il en va de même pour les dérivées successives.

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