124. Soit f une fonction continue et de carré intégrable de R⁺ dans R. Déterminer la limite en + ∞ de x e^-xf(t)e^t d t.

Voici deux solutions différentes de ce problème.

On note g la fonction de R⁺ dans R : xe^-xf(t)e^t d t.

C’est la solution de l’équation différentielle yʹ + y = f(x) telle que y(0) = 0.

Pour tout x ≥ 0, on a f² = (gʹ + g)² = (g² + 2ggʹ + gʹ²).

Notons F(x) = f², G(x) = g² et H(x) = gʹ².

On a pour tout x ≥ 0, F(x) = g²(x) + G(x) + H(x).

Il s’ensuit que, pour tout x ≥ 0, G(x) ≤ F(x) ≤f² et H(x) ≤ F(x) ≤f² car f² est intégrable sur R ₊ . Comme g² ≥ 0 et gʹ² ≥ 0, les fonctions G et H sont croissantes ; elles ont une limite finie en + ∞. Donc g² est intégrable sur R₊. Comme g²(x) = F(x) - G(x) - H(x), la fonction g² a une limite finie l en + ∞. L’intégrabilité de g² implique l = 0. En conclusion g tend vers 0 en + ∞.

Il est souvent utile d’utiliser l’inégalité de Cauchy-Schwarz lorsque l’on manipule des fonctions de carrés intégrables. Lorsqu’on l’applique brutalement ici, on peut montrer que cette limite est majorée en valeur absolue par une constante. L’idée est de regarder ce qu’il se passe sur et pour utiliser plusieurs majorations et gagner en finesse.
On notera M = lim_x→+∞f(t)² d t.

D’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz, il vient :

e-xf(t) et d t	≤ e-x ≤ e-x
	≤ e-x ≤ e-.

Il en résulte e^-xf(t) e^t d t = 0.

On fait le même calcul sur  :

e-xf(t) et d t	≤ e-x ≤ e-x
	≤

Or f(t)² d t = f(t)² d t -f(t)² d t M - M = 0.
D’où e ^-x f(t) e^t d t 0.
Finalement e ^-x f(t) e^t d t = e^-x 0.
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