121. Soit f : R → R de classe C2 et 2π-périodique telle que :

∀x ∈ R , (f(x), fʹ(x))≠(0,0).

a) Montrer que l’ensemble Z des zéros de f sur [0,2π[ est fini.

b) Soit g une fonction de classe C1 de R dans R tendant vers 1 en + ∞, vers - 1 en -∞. Montrer que |Z| = -12∫ 2π 0gʹ( ) ffʹ(x)( ) fʹfʹ(x)d x.

c) Montrer que |Z| = -1 π∫ 2π 0f”f-fʹ2 f2+fʹ2-.

Solution de François Capacès

a) Soit x0 ∈ R un zéro de f. Comme fʹ(x0) ⁄= 0, on a f(x)~x→x0fʹ(x0)(x-x0) d’où f(x) ⁄= 0 au voisinage de x0. Les zéros de f sont donc isolés et, par conséquent, un segment n’en contient qu’un nombre fini.

La fonction f admet donc un nombre fini de zéros sur [0,2π] donc aussi sur [0,2π[. On les notera

0 ≤ x1 < x2 < ...< xn < 2π, avec n = |Z|.

b) Posons aussi x0 = x1 - 2π et xn+1 = xn + 2π. La fonction f est de signe constant sur chacun des intervalles ]xk,xk+1[, k ∈ [[0,n]]. Si par exemple fʹ(xk) > 0, alors f > 0 sur ]xk,xk+1[ et f < 0 sur ]xk-1 , xk[. On en déduit, quelque soit le signe de fʹ(xk) :

fʹ(x)- fʹ(x)- xli→mx+k f(x) = +∞ et x→lixm-k+1 f(x) = - ∞.

On a par ailleurs : ∫ + ∞ -∞gʹ(u)d u = 2 d’où, en effectuant le changement de variable u = f-ʹ(x) f(x), x ∈]xk , xk+1 [ :

∫ xk+1 ( ʹ ) ( ʹ) ʹ - gʹ f-(x) f- (x)dx = 2 xk f f

Finalement, en sommant sur k ∈ [[1,n]] (ce qui est quelque peu abusif puisqu’il s’agit a priori d’intégrales impropres) par 2π-périodicité :

1 ∫ 2π (fʹ )( fʹ)ʹ -- gʹ --(x) -- (x)dx = n 2 0 f f

b) La fonction g : x ∈ R↦→ 2 -- πarctan(x) est de classe C1 sur R et vérifie limx→±∞g = ±1. On a

( )ʹ ∀x∈ R,(f(x) ⁄= 0) =⇒ fʹ (x) = fʹʹ(x)f(x)--fʹ2(x), f f(x)2
donc, d’après la question précédente, on a
∫ ∫ 12π2----1----fʹʹ(x)f(x-)--fʹ2(x) 1- 2πfʹʹ(x)f(x)--fʹ2(x) |Z|=-20π 1+ fʹ2(x2) f(x)2 dx = -π 0 fʹ2(x) +f (x)2 dx. f(x)

Puisque f et fʹ ne s’annulent pas en même temps, l’intégrale a priori n + 1 fois impropre du départ s’avère pour ce choix de g être une pimpante intégrale tout ce qu’il y a de plus propre.
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