118. Soit f une fonction continue de [ 1 3]
 -2,2 dans R.

Montrer que ∫
3⁄2
-1⁄2xf(3x2 - 2x3)d x = 2∫
  1
 0xf(3x2 - 2x3)d x.

Notons P(x) = 3x2 - 2x3. On a :

Pʹ(x) = 6x(1 - x), P(-12) = 1, P(0) = 0, P(1) = 1, P(32) = 0.

Ainsi P induit un homéomorphisme décroissant de [-12,0] (resp. croissant de [0,1] ; décroissant de [1,32,0]) sur [0,1] dont on note g1 (resp. g2, g3) l’homéomorphisme réciproque.

La fonction g1 (resp. g2, g3) induit un C-difféomorphisme de ]0,1] sur ] - 12,0] (resp. ]0,1[ sur ]0, 1[ ; [0, 1] sur [1,32]).

Notons : I = ∫3⁄2

-1⁄2xf(P(x))d x et

I1 = ∫
0
-1⁄2xf(P(x))d x, I2 = ∫
  1
 0xf(P(x))d x, I3 = ∫
  3⁄2
 1xf(P(x))d x.

Pour i = 1, 2, 3 effectuons le changement de variable x = gi(y) dans Ii. Il vient :

      ∫                     ∫
I1 = -  10 f(y)g1(y)gʹ1(y)dy, I2 = 10 f (y)g2(y)gʹ2(y)dy
etI3 = - ∫1f (y)g3(y)gʹ3(y)dy.
         0

Ainsi I = I1 + I2 + I3 = ∫
  1
 0f(y)     ʹ          ʹ          ʹ
(g2(y)g2(y)- g1(y)g1(y)- g3(y)g3(y))d y.

Les trois racines du polynôme y - P = 2X3 - 3X2 + y sont g1(y), g2(y) et g3(y).

Donc g1 (y) + g2 (y) + g3(y) = 32, g1(y)g2(y) + g2(y)g3(y) + g3(y)g1(y) = 0, puis g21(y) + g22(y) + g23(y) = 94.

Par dérivation il vient : g1(y)gʹ1(y) + g2(y)gʹ2(y) + g3(y)gʹ3(y) = 0.

Ainsi I = 2I2 .
[Liste des corrigés]