Montrer que xf(3x2 - 2x3)d x = 2xf(3x2 - 2x3)d x.
Notons P(x) = 3x2 - 2x3. On a :
Pʹ(x) = 6x(1 - x), P(-1⁄2) = 1, P(0) = 0, P(1) = 1, P(3⁄2) = 0.
Ainsi P induit un homéomorphisme décroissant de [-1⁄2,0] (resp. croissant de [0,1] ; décroissant de [1,3⁄2,0]) sur [0,1] dont on note g1 (resp. g2, g3) l’homéomorphisme réciproque.
La fonction g1 (resp. g2, g3) induit un ∞-difféomorphisme de ]0,1] sur ] - 1⁄2,0] (resp. ]0,1[ sur ]0, 1[ ; [0, 1] sur [1,3⁄2]).
Notons : I = xf(P(x))d x et
I1 = xf(P(x))d x, I2 = xf(P(x))d x, I3 = xf(P(x))d x.
Pour i = 1, 2, 3 effectuons le changement de variable x = gi(y) dans Ii. Il vient :
Ainsi I = I1 + I2 + I3 = f(y)d y.
Les trois racines du polynôme y - P = 2X3 - 3X2 + y sont g1(y), g2(y) et g3(y).
Donc g1 (y) + g2 (y) + g3(y) = 3⁄2, g1(y)g2(y) + g2(y)g3(y) + g3(y)g1(y) = 0, puis g(y) + g(y) + g(y) = 9⁄4.
Par dérivation il vient : g1(y)gʹ1(y) + g2(y)gʹ2(y) + g3(y)gʹ3(y) = 0.
Ainsi I = 2I2 .
[Liste des corrigés]