110. On considère n ∈ N* et f1,…,fn des fonctions périodiques de R dans C telles que g = f1 + ⋅⋅⋅ + fn tende vers 0 en + ∞. Montrer que g = 0.

Solution de Noé Weeks, élève au lycée Louis-le-Grand

Si n = 1, soit T une période (strictement positive) de f, et x ∈ R ; on a

∀n ≥ 1 f(x + nT) = f (x).
En faisant tendre n → +∞, on obtient f(x) = 0, d’où f = 0.

Pour passer au cas général, on est pris par l’envie de faire une récurrence. Satisfaisons-la. Soit n ≥ 1 tel que le résultat soit vrai au rang n, et prenons g1,…,gn+1 périodiques telles que f = n∑+1 i=1gi tende vers 0 en + ∞. Soit T > 0 une période de gn+1 ; si x ∈ R,

∑n ( ) f (x + T)- f(x) = gi(x+ T) - gi(x). i=1
Or x↦→ f(x + T) - f(x) converge encore vers 0 en + ∞, et les x↦→gi(x + T) - gi(x) sont encore périodiques donc, par hypothèse de récurrence, x↦→f(x + T) - f(x) est nulle. Donc f est T-périodique et, tendant vers 0 en + ∞, est nulle.
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