100. Pour λ ∈ ]0,1[, soit Aλ l’ensemble des k de N* tels que le nombre de 9 dans l’écriture décimale de k soit majoré par λnk, où nk est le nombre de chiffres de k. Étudier la sommabilité de (1) kk∈Aλ.

Pour n ∈ N * , notons An,λ l’ensemble des k ∈ Aλ compris entre 10n-1 et 10n - 1 c’est-à-dire l’ensemble des entiers à n chiffres et contenant au plus ⌊λn⌋ fois le chiffre 9. On a :

|An,λ|≤ ∑ 1-≤ |An,λ|. 10n k∈A k 10n-1 n,λ
En tenant compte du premier chiffre qui ne peut être 0 et en choisissant les emplacements des 9,
⌊λ∑n⌋( ) ⌊λ∑n⌋( ) 8 n 9n-j ≤ |An,λ| ≤ n 9n-j. 9 j=0 j j=0 j
Il suffit donc de connaître la nature de la série de terme général
⌊λn⌋( ) ( ) ( ) ∑ n -1 j 9- n-j un = j 10 10 . j=0
On reconnait ici la probabilité P(Sn ≤ λn) où Sn suit une loi binomiale B(n,1⁄10). On a :
E(Sn) = n, V (Sn ) = n-9 9 100
et, d’après l’inégalité de Bienaymé-Tchébychev, pour ϵ > 0,
(| | ) P ||Sn - -n|| ≥ n ϵ ≤ V-(Sn) - → 0. 10 n2ϵ2 n→+ ∞
On a donc, pour ϵ > 0,
( ) ( ) 1- 1- PSn ≤ 10 - ϵ n-→→+∞ 0 et P Sn ≤ 10 + ϵ n-→→+ ∞ 1.

Si λ > 1⁄10, la série de terme général un diverge grossièrement donc la famille n’est pas sommable pour λ > 1⁄10.

Si λ < 1⁄10, il faut une utiliser une inégalité de concentration plus précise. Si t > 0,

( ) E (e-Snt) P(Sn≤ λn) = P(- Sn ≥ - λn ) = P e-Snt ≥ e-λnt ≤---λnt-. e
Or Sn ~ (X1 + ⋅⋅⋅ + Xn) où les Xi sont i.i.d et suivent la loi de Bernoulli de paramètre 1⁄10 donc
-Snt ( -X1t) -Xnt -X1t n ( 9- e-t)n E(e) = E e ⋅⋅⋅E(e ) = E (e ) = 10 + 10 .
On a donc, pour t > 0,
( ( ( ) )) 9- e--t P(Sn ≤ λn) ≤ exp n λt+ ln 10 + 10 .
Il reste à remarquer que
( -t) ϕ : t ∈ R+ * ↦→ λt+ ln 9-+ e- 10 9
prend des valeurs strictement négative au voisinage de 0. En fixant t0 tel que ϕ(t0) < 0, on obtient
un ≤ e- n|ϕ(t0)|.
La série de terme général un converge ; la famille est sommable pour λ < 1⁄10.

Enfin, pour λ = 1⁄10, le théorème limite central (très nettement hors programme !) donne la convergence de (un) vers 1/2, donc la divergence grossière de la série de terme général un ; la famille n’est pas sommable pour λ = 1⁄10.
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