97. Soient (an )n≥0,(bn)n≥0 deux suites d’éléments de R+ telles que 
bn converge et
∀n 
N an+1 ≤ an + bn. Montrer que (an)n≥0 converge.
bn converge et
∀n N an+1 ≤ an + bn. Montrer que (an)n≥0 converge.
Solution de Philippe Agnès
Pour n N , on pose Bn := 
bk. On sait que (Bn)n≥0 converge, donc que (Bn)n≥0 est
bornée.
Comme (an ) est une suite à valeurs dans R+, (an) est minorée (par 0), et par conséquent la suite
(an - Bn-1 )n≥1 est elle aussi minorée. D’autre part, pour n ≥ 1, Bn - Bn-1 = bn donc
an+1 ≤ an + Bn - Bn-1 soit an+1 - Bn ≤ an - Bn-1. Ainsi, la suite (an - Bn-1)n≥1 est
décroissante et minorée, donc converge. Il en résulte que la suite (an) converge.