87. Soit φ une fonction convexe de R⁺ dans R⁺ telle que φ(0) = 0.

a) Montrer que φ est continue.

b) On note E_φ l’ensemble des fonctions f : R → R continues par morceaux telles que φ•|f| soit intégrable sur R. Montrer que E_φ est un sous-espace vectoriel de R^R si et seulement s’il existe C > 0 tel que : ∀x R^+*, φ(2x) ≤ Cφ(x).

a) Toute fonction convexe sur R⁺ est continue sur R^+*. La continuité en 0 découle par exemple de l’encadrement 0 ≤ φ(x) ≤ xφ(1) + (1 - x)φ(0) = xφ(1) pour tout x [0, 1].

b) Observons tout d’abord que φ est croissante, en effet le taux d’accroissement

est croissant et positif sur R^+* ; par suite xφ(x) = x. l’est aussi.

∙  Supposons qu’il existe C > 0 tel que φ(2x) ≤ Cφ(x) pour tout x > 0. Il en résulte que, pour tous x, y ≥ 0, on a

L’ensemble E_φ contient la fonction nulle. Il est stable par somme : soit f,g E_φ, alors on a donc φ • |f + g| est intégrable sur R et f + g E_φ. Soit λ R et f E_φ. On prend un entier n > 0 tel que 2ⁿ ≥|λ|. Alors on a φ •|λf|≤ φ • (2ⁿ|f|) ≤ Cⁿφ •|f| L¹(R), donc λf E_φ .

∙  Supposons que E_φ soit un sous-espace vectoriel de R^R. Le cas où φ est la fonction nulle étant trivial, on peut supposer qu’il existe x > 0 tel que φ(x) > 0. Comme φ est croissante et continue, il existe A ≥ 0 tel que φ = 0 sur [0,A] et φ > 0 sur ]A,+∞[. Par l’absurde si A > 0, alors la fonction constante f = A est dans E_φ (puisque φ • f = 0) tandis que 2f E_φ (puisque φ • (2f) est constante > 0 sur R). Ainsi on a φ > 0 sur R^+*.

Montrons le résultat souhaité par l’absurde, ce qui revient à supposer l’existence d’une suite (a_n )_n≥1 dans R ^+* telle que φ(2a_n) > nφ(a_n) pour tout n N^*. On considère alors une fonction en escalier f dont le graphe est formé de rectangles de hauteur a_n et de largeur b_n = (n²φ(a_n))^-1. Plus précisément, soit (x_n) une suite croissant vers + ∞ suffisamment vite de sorte que x_n+1 > x_n + b_n pour tout n ; on définit f par

Alors et ainsi f E_φ et 2f E_φ. Cette contradiction conclut le raisonnement.
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