a) Montrer que Dn est compact et connexe par arcs.
b) On pose F : M n(R)(m)1≤i,j≤n. Comparer F(n(R)) à Dn.
c) Est-ce que F(n(R)) est dense dans Dn ?
d) Est-ce que F(n(R)) est connexe par arcs ?
a) Considérons les applications ci,j : Mmi,j, li : Mmi,j et γj : Mmi,j linéaires sur l’espace n(R) qui est de dimension finie. Elles sont donc continues. On en déduit :
est fermé. Comme par ailleurs Dn est borné pour la norme du maximum des |mi,j|, c’est bien un compact.
En outre Dn est clairement convexe donc connexe par arcs.
b) Pour M n (R), F(M) est à coefficients positifs et la somme des coefficients d’une ligne ou d’une colonne vaut 1 car les colonnes et les lignes de M sont unitaires. On a donc F(n (R )) ⊂ Dn .
c) Comme F est continue, F(n(R)) est compact donc fermé dans Dn. La question revient à voir si F(n (R )) = Dn.
C’est trivialement vrai si n = 2 car toute matrice M D2 est de la forme M = avec a [0, 1] et donc de la forme M = F avec a = cos2t.
C’est faux si n = 3. En effet la matrice J3 = est dans D3 mais pas dans F(3 (R )) car un antécédent de J3 par F à des lignes de la forme 3-1⁄2(±1,±1,±1) et deux telles lignes ne peuvent pas être orthogonales.
C’est aussi faux pour n ≥ 4 car, pour les mêmes raisons, est dans Dn mais pas dans F(n (R )).
d) Oui car on a F(n(R)) = F(SOn(R)) puisque F(M) est inchangé lorsqu’on change le signe
de la première ligne de M et car F est continue et SOn(R)) connexe par arcs.
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