82. On fixe n ∈ N*. Une matrice M de Mn(R) est dite bistochastique lorsque tous ses coefficients sont positifs ou nuls et que la somme de ses coefficients sur une ligne ou une colonne quelconque vaut 1. On note Dn l’ensemble formé par ces matrices.

a) Montrer que Dn est compact et connexe par arcs.

b) On pose F : M ∈Mn(R)↦→(m2
i,j)1i,jn. Comparer F(On(R)) à Dn.

c) Est-ce que F(On(R)) est dense dans Dn ?

d) Est-ce que F(On(R)) est connexe par arcs ?

a) Considérons les applications ci,j : M↦→mi,j, li : M↦→ n
∑
j=1mi,j et γj : M↦→ n
∑
i=1mi,j linéaires sur l’espace Mn(R) qui est de dimension finie. Elles sont donc continues. On en déduit :

      ⋂n  -1         n⋂  -1    n⋂  - 1
Dn =     ci,j{[0,+ ∞ [}   ℓi {1}   γj {1}
     i,j=1            i=1      j=1

est fermé. Comme par ailleurs Dn est borné pour la norme du maximum des |mi,j|, c’est bien un compact.

En outre Dn est clairement convexe donc connexe par arcs.

b) Pour M ∈ On (R), F(M) est à coefficients positifs et la somme des coefficients d’une ligne ou d’une colonne vaut 1 car les colonnes et les lignes de M sont unitaires. On a donc F(On (R )) Dn .

c) Comme F est continue, F(On(R)) est compact donc fermé dans Dn. La question revient à voir si F(On (R )) = Dn.

C’est trivialement vrai si n = 2 car toute matrice M ∈ D2 est de la forme M = (  a    1- a)
 1 - a   a avec a ∈ [0, 1] et donc de la forme M = F((cost  - sint))
  sint   cos t avec a = cos2t.

C’est faux si n = 3. En effet la matrice J3 = (1⁄3  1⁄3  1⁄3)
(1⁄3  1⁄3  1⁄3)
 1⁄3  1⁄3  1⁄3 est dans D3 mais pas dans F(O3 (R )) car un antécédent de J3 par F à des lignes de la forme 3-12(±1,±1,±1) et deux telles lignes ne peuvent pas être orthogonales.

C’est aussi faux pour n 4 car, pour les mêmes raisons, (        )
  J3   0
  0   In- 3 est dans Dn mais pas dans F(On (R )).

d) Oui car on a F(On(R)) = F(SOn(R)) puisque F(M) est inchangé lorsqu’on change le signe de la première ligne de M et car F est continue et SOn(R)) connexe par arcs.
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