74. On appelle parfait de R toute partie non vide de R fermée sans point isolé.

a) Donner un exemple de parfait d’intérieur vide de R.

b) Donner un exemple de parfait de R ne coupant pas Q.

a) Notons I l’ensemble des segments de R qui ne sont pas réduits à un point. Pour I ∈I notons l(I) sa longueur.

On appelle sélection toute application S : II×I, I↦→(IS
0,IS
1) IS
0 IS
1 I et pour j = 0, 1, l(IS
j) 1
2l(I).

Exemple :

         ( [       ]  [       ])
S([a,b]) =   a, 2a+-b-, 2b+-a,b
                3        3
définit une sélection.

Soit (Sn )n∈N * une suite de sélections. On pose I = [0,1], K0 = I et pour n ∈ N*

          ⋃
Kn =             ISi11......iSnn
     (i1,...,in)∈{0,1}n

On constate que Kn+1 Kn, Kn = (i1,,in)∈{0,1}nIS ...S
i11...inn et que Kn est compact.

Comme Kn , le théorème des compacts emboîtés montre que K = n∈NKn est compact et non vide.

Montrons que K est d’intérieur vide. On raisonne par l’absurde en considérant u,v ∈ R tels que u < v et ]u, v[K. Choisissons n ∈ N* tel que 12n < v - u. On a

           ⊔
]u,v[⊂             ISi11......Sinn
      (i1,...,in)∈{0,1}n

Il existe donc (i1 ,,in) ∈{0,1}n tel que ]u,v[ISi11......Sinn, d’où

1                      1
-n < v- u ≤ ℓ(ISi11......Sinn) ≤ -n
2                      2

ce qui est absurde. Donc K est d’intérieur vide.

Montrons que K est sans point isolé. Soient x ∈ K et ε > 0. Construisons y ∈ K \{x} tel que |y - x| < ε. On choisit n ∈ N tel que -1
2n < ε. Soit (i1,,in+1) ∈{0,1}n+1 tel que x ∈ IS1...Sn+1
i1...in+1.

Considérons la suite de segments emboîtés (Lp)p∈N* avec

     S ...S S   ......S
Lp = Ii11...inn(1n-+in1+1)0.n..+0p.
On considère à bon droit y ∈ p∈N*Lp. On a clairement y ∈ K, yx (puisque x ∈ IS1...Sn+1
i1...in+1 qui ne rencontre pas IS1..i1....Sinn(S1n-+in1+...1..)0.S.n..+0p lequel contient y) et |y -x|21n < ε puisque x,y ∈ ISi11......iSnn. Donc K est sans point isolé.

Cette construction est effective (prendre Sn = S comme dans l’exemple) et l’on a bien construit une partie parfaite, sans point isolé et non vide.

b) Soit, plus généralement, D une partie dénombrable de R et construisons K parfaite, sans point isolé et ne rencontrant pas D. On pose D = {dnn ∈ N} et on reprend la construction du a) en choisissant Sn de façon à exclure dn. Plus précisément, pour n ∈ N * et a < b, on pose Sn([a,b]) = (J,K) J et K sont choisis parmi les 5 segments

[                              ]
(5---k+-1)a+-(k--1)b, (5--k)a+-kb ,   1 ≤ k ≤ 5,
         5               5
de façon qu’ils ne contiennent pas dn et soient disjoints. Un tel choix est possible puisqu’il y a au plus 2 segments contenant dn, donc au moins 3 segments qui ne le contiennent pas, et que parmi ceux-ci il en existe clairement 2 qui sont disjoints. On applique alors la construction du a) : K est parfait, d’intérieur vide et, pour n ∈ N*, K Kn avec dn⁄∈Kn, donc K D = .
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