a) Donner un exemple de parfait d’intérieur vide de R.
b) Donner un exemple de parfait de R ne coupant pas Q.
a) Notons l’ensemble des segments de R qui ne sont pas réduits à un point. Pour I notons l(I) sa longueur.
On appelle sélection toute application S : →×, I(I,I) où I ⊔ I ⊂ I et pour j = 0, 1, l(I) ≤l(I).
Exemple :
Soit (Sn )nN * une suite de sélections. On pose I = [0,1], K0 = I et pour n N*
On constate que Kn+1 ⊂ Kn, Kn = ⊔ (i1,…,in){0,1}nI et que Kn est compact.
Comme Kn ≠ ∅, le théorème des compacts emboîtés montre que K = ⋂ nNKn est compact et non vide.
∙ Montrons que K est d’intérieur vide. On raisonne par l’absurde en considérant u,v R tels que u < v et ]u, v[⊂ K. Choisissons n N* tel que < v - u. On a
Il existe donc (i1 ,…,in) {0,1}n tel que ]u,v[⊂ I, d’où
ce qui est absurde. Donc K est d’intérieur vide.
∙ Montrons que K est sans point isolé. Soient x K et ε > 0. Construisons y K \{x} tel que |y - x| < ε. On choisit n N tel que < ε. Soit (i1,…,in+1) {0,1}n+1 tel que x I.
Considérons la suite de segments emboîtés (Lp)pN* avec
Cette construction est effective (prendre Sn = S comme dans l’exemple) et l’on a bien construit une partie parfaite, sans point isolé et non vide.
b) Soit, plus généralement, D une partie dénombrable de R et construisons K parfaite, sans point isolé et ne rencontrant pas D. On pose D = {dn∣n N} et on reprend la construction du a) en choisissant Sn de façon à exclure dn. Plus précisément, pour n N * et a < b, on pose Sn([a,b]) = (J,K) où J et K sont choisis parmi les 5 segments
[Liste des corrigés]