66. Soient A et B dans n(R). Comparer tr(ABAB) et tr(A2B2).
La matrice M := AB -BA est antisymétrique puisque MT = BTAT -ATBT = BA-AB = -M,
donc tr (M2 ) = mi,jmj,i = -m ≤ 0. On déduit donc de l’égalité plus haut
que
En
outre, l’égalité a lieu si et seulement si M = 0, autrement dit si et seulement si A et B
commutent.
Or
(AB)T = BT AT = BA, donc (BA)TAB = ABAB, tandis que (BA)TBA = AB2A
et (AB)T (AB) = BA2B. Les propriétés de la trace montrent donc que
tr = tr(A2B2) = tr. En particulier tr(A2B2) = ∥AB∥2 ≥ 0 et
l’inégalité précédente se récrit
Supposons l’égalité réalisée. Par le cas d’égalité dans l’inégalité de Cauchy-Schwarz, la matrice
M := AB est positivement colinéaire à BA = MT. Supposons M≠0. Alors MT = λM pour un
λ R + . Ainsi, M = (MT)T = λMT = λ2M donc λ2 = 1 puis λ = 1. Ainsi MT = M.
C’est trivialement vrai si M = 0, donc AB = BA. Réciproquement, il y a évidemment
égalité si AB = BA. En conclusion, l’égalité a lieu si et seulement si A et B commutent.
Solution de Moubinool Omarjee
On remarque que
Solution d’après Jean-Claude Jacquens et Noé Weeks, élève au lycée Louis-Le-Grand
On va utiliser le produit scalaire canonique (M,N)tr(MTN) sur n(R). L’inégalité de Cauchy-Schwarz pour ce produit scalaire donne