- il existe un sous-espace vectoriel V de E de dimension m tel que les projetés orthogonaux de e1,…,en sur V aient même norme ;
- pour tout i {1,…,n}, on a d≥ m.
Solution combinant les idées d’Ivan Gozard et celles du comité de rédaction
Notons eʹi le normalisé de ei pour tout i [ [1,n]], si bien que (eʹ1,…,eʹn) est une base orthonormée de E. On notera πV la projection orthogonale de E sur V , lorsque V désigne un sous-espace vectoriel de E.
Supposons d’abord qu’il existe un sous-espace vectoriel V de dimension m tel que les vecteurs πV (ei ) aient même norme, notée λ. Choisissons une base orthonormée (f1,…,fm) de V . On a donc, pour tout i [ [1,n]],
Nous proposons ensuite deux démonstrations voisines de l’implication réciproque. Nous disons qu’une liste (a1 , …,an) [0,1]n est m-compatible si ak = m ; nous fixons définitivement un sous-espace vectoriel V de dimension m de E.
Nous disons qu’une liste a Rn est V -représentable lorsqu’il existe une base orthonormée (ε1 , … , εn ) de E (dite adaptée à (a,V )) telle que a = 1≤i≤n. La première partie de la démonstration montre en fait que toute liste V -représentable est m-compatible.
Enfin, une matrice U On(R) est dite adaptée à (a,m) lorsque ∀j [ [1,n]],aj = u.
Nous introduisons maintenant deux énoncés profondément équivalents :
- Toute n-liste m-compatible (a1,…,an) est V -représentable.
- Pour toute n-liste m-compatible a, il existe une matrice U On(R) adaptée à (a,m).
Nous allons d’abord montrer que (R) implique (G) et que (G) assure l’implication (ii) ⇒ (i). Ensuite, nous donnerons une démonstration directe de (R), et enfin une démonstration de (G) par récurrence sur n.
Admettons (R). Soit a [0,1]n une liste m-compatible. On prend une base orthonormée (ε1,…,εn) de E adaptée à (a,V ). On choisit une base orthonormée (f1,…,fm) de V , que l’on complète en une base orthonormée (f1,…,fn) de E. La matrice U de passage de (f1,…,fn) à (ε1,…,εn) est alors orthogonale et vérifie
Admettons (G), et supposons (ii). La liste a Rn de terme général
Démonstration directe de (R), par le comité de rédaction
On notera plus simplement p la projection orthogonale sur V .
Commençons par le cas particulier d’une liste m-compatible a {0,1}n (nous dirons que a est extrémale). L’ensemble I := {i [ [1,n]] : ai = 1} est alors de cardinal m, et on peut le noter {i1 , … , im }. On peut alors simplement se donner une base orthonormée (f1,…,fm) de V et la compléter en une base orthonormée (ε1,…,εn) de E où eik = fk pour tout k [ [1,m]] ; cette dernière base est alors clairement adaptée à (a,V ).
Nous mettons ensuite en évidence un procédé élémentaire pour construire une liste V -représentable à l’aide d’une autre. Soit a [0,1]n une liste V -représentable. Donnons-nous une base orthonormée (ε1 , …,εn) de E adaptée à (a,V ). Soit i < j dans [ [1,n]]. Fixons θ R et considérons la liste (ε,…,ε) de vecteurs définie par ε = εk si k ⁄{i,j}, ε = (cosθ).εi + (sinθ).εj et ε = -(sinθ).εi + (cosθ).εj. On vérifie facilement qu’elle est orthonormée.
En outre ∥p(ε)∥2 = ∥p(ε k)∥2 pour tout k [ [1,n]] \{i,j}, tandis que, par linéarité de p,
Ce qui précède motive la définition suivante : étant donné deux listes m-compatibles a [0, 1]n et b [0,1]n, b est dite adjacente à a, et on note a → b, lorsqu’il existe deux indices i < j dans {1,…,n} tels que bk = ak pour tout k [ [1,n]] \{i,j}, et bi et bj soient compris entre ai et aj. Dans ce cas, la condition de m-compatibilité force bi + bj = ai + aj , et la construction précédente montre donc que si a est V -représentable alors b l’est aussi.
Soit maintenant b [0,1]n une liste m-compatible mais non-extrémale. La condition de m-compatibilité impose qu’au moins deux de ses composantes soient dans , mettons 0 < bi < 1 et 0 < bj < 1 où i < j. On construit alors une liste m-compatible a comme suit : on pose ak := bk pour tout k [ [1,n]] \{i,j}, et par ailleurs :
- si bi + bj ≤ 1, on pose ai := bi + bj et aj := 0 ;
- sinon on pose ai := 1 et aj := bi + bj - 1.
Dans tous les cas, il est clair que a → b. En outre, a possède strictement plus de termes dans {0,1} que b.
Concluons : partant d’une liste m-compatible b [0,1]n, le procédé précédent permet de construire, de proche en proche, une chaîne b(l) → b(l-1) →→ b(1) → b(0) = b de n-listes m-compatibles où b(l) est extrémale. Par suite, b(l) est V -représentable, donc par récurrence descendante b(i) est V -représentable pour tout i [ [0,l]], et en particulier b est V -représentable.
Démonstration par récurrence de (G), par Ivan Gozard
On introduit plus généralement
(Hn ) : ≪ Pour tout m [ [1,n]] et toute liste m-compatible a [0,1]n, il existe une matrice de On (R ) qui soit adaptée à (a,m). ≫
La propriété H1 est trivialement vraie (il suffit de prendre U = I1). Soit n ≥ 2 tel que Hn-1 soit vraie. Soit m [ [ 1,n]].
Nous distinguons deux cas :
- Cas où m ≤⋅
Soit a [0,1]n une liste m-compatible. S’il existe, pour une certaine permutation σ de [ [ 1, n]] , une matrice U qui soit adaptée à (aσ,m) où aσ := (aσ(j))1≤j≤n, alors la matrice (ui,σ-1(j))1≤i,j≤n reste orthogonale et elle est adaptée à (a,m). On ne perd donc pas de généralité à supposer a décroissante, ce que l’on fera désormais.Notons ensuite que (ai + aj) = 2ai = 2nm tandis que
(ai + aj) = 2m + (ai + aj), donc (ai + aj) = 2(n - 1)m.
Puisque cette dernière somme possède n(n - 1) termes et que son terme minimal est an + an-1 , il vient
En particulier m ≤ n - 1, et la (n - 1)-liste b := (a1,…,an-2,an-1 + an) est m-compatible. L’hypothèse Hn-1 fournit alors une matrice Uʹ On-1(R) adaptée à (b, m). Prenons un θ R arbitraire et introduisons Rθ := O2 (R ). La matrice produit
- Cas où m > ⋅
Alors, n - m < , et on se réduit au cas précédent en considérant (b1,…,bn) := (1-a1 , … , 1-an), qui est évidemment (n-m)-compatible. On prend alors une matrice Uʹ On (R) adaptée à (b,n-m), dont on note Lʹ1,…,Lʹn les lignes. La matrice U de lignes Lʹn-m+1,…,Lʹn,Lʹ1,…,Lʹn-m est alors orthogonale (ses lignes forment une base orthonormée de 1,n(R)) ; comme la norme de toute colonne de U vaut 1, on obtient, pour tout j [ [1,n]],
Ainsi, Hn est établie. On en déduit l’implication (ii) ⇒ (i), comme on l’a vu plus tôt.