58. Soient A ∈ Mn(C) et P = det(XIn - A).

On pose P = Xn + c1Xn-1 + ⋅⋅⋅ + cn = (X - z1)⋅⋅⋅(X - zn).

a) Calculer de deux façons ∑n

k=1P(x)
x-zk pour x ∈ C avec |x| > max1in|zi|.

b) Soit k ∈ [[1, n]]. Montrer : ck =    k
(-1k)!-|| tr(A)      1      0    ⋅⋅⋅     0  ||
||     2                   ..      ..  ||
|| tr(A )     tr(A)    2      .     .  ||
||   ...        ...     ...    ...     0  ||
||                   .     .         ||
||tr(Ak- 1)            ..    ..   k - 1||
| tr(Ak )  tr(Ak -1) ⋅⋅⋅  tr(A2 ) tr(A )|.

Solution de Marc Becker

a) Soit x ∈ C , |x| > max1kn|zk|.

Première expression.

 n                 n-1
∑   P-(x)-= Pʹ(x ) = ∑ (k + 1)c    xk.
k=1 x- zk          k=0      n- k- 1

Deuxième expression. Pour ν ∈ N, on pose Sν = ∑n

k=1zν
k = trAν. On a, en posant c0 = 1

n∑    ∑n         ∑n          ∑n         ∑n +∑∞  ν
P(x) =     cn-kxk-1    --1zj-=    cn- kxk-1      zj-
k=1x-zk    k=0        j=1 1- x-   k=0         j=1ν=0xν
     ∑n         +∑ ∞       ∑   (   ∑               )
  =     cn-kxk-1    Sν-=                cn-ℓ-ν-1Sν  xℓ
     k=0        ν=0 xν   ℓ∈Z   0≤ν≤n-ℓ-1
                         ℓ≤n- 1
     n∑-1(    ∑               )
  =                cn-ℓ-ν-1Sν xℓ.
     ℓ=0  0≤ν≤n-ℓ-1

b) On a donc

∀k∈ [[0,n - 1]],(k+ 1)c    =     ∑     c       S
                   n-k-1  0≤ν≤n- k- 1 n- k-ν-1 ν

soit, pour 0 j n - 1,

           ∑
(n- j)cj =      cj- νS ν
          0≤ν≤j

d’où

       ∑
- jcj =    cj-νSν
      1≤ν≤j

et ainsi

 ∑
     cj-νSν +jcj = 0.
1≤ν≤j

Posons, pour 1 k n,

     |                         |
     || S1    1    0   ⋅⋅⋅   0  ||
     ||                ..    ..  ||
     || S2    S1   2     .   .  ||
Dk = ||  ...    ...   ...  ...   0  ||.
     ||            ..  ..       ||
     ||Sk-1         .    .  k- 1||
       Sk   Sk-1  ⋅⋅⋅  S2    S1
Fixons k ∈ [[1, n]] et désignons par Ki la i-ième colonne du déterminant Dk. On effectue l’opération K1 := K1 + ∑k

j=2cj-1Kj. Pour 1 i k - 1, on a alors
           ∑ i
(K1)i = Si +   cj-1Si-j+1 + ici = 0.
            j=2

On a donc

                   k
Dk = (k- 1)!(- 1)k+1 ∑  cj-1Sk+1-j = (- 1)kk!ck.
                   j=1


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