58. Soient A n(C) et P = det(XIn - A).
Fixons k [[1, n]] et désignons par Ki la i-ième colonne du déterminant Dk. On effectue
l’opération K1 := K1 + cj-1Kj. Pour 1 ≤ i ≤ k - 1, on a alors
On pose P = Xn + c1Xn-1 + + cn = (X - z1)(X - zn).
a) Calculer de deux façons pour x C avec |x| > max1≤i≤n|zi|.
b) Soit k [[1, n]]. Montrer : ck = .
Solution de Marc Becker
a) Soit x C , |x| > max1≤k≤n|zk|.
Première expression.
Deuxième expression. Pour ν N, on pose Sν = z = trAν. On a, en posant c0 = 1
b) On a donc
soit, pour 0 ≤ j ≤ n - 1,
d’où
et ainsi
Posons, pour 1 ≤ k ≤ n,
On a donc