56. Soient n ≥ 2 un entier, A et B dans GLn(C), X et Y dans Cn.
Le
polynôme caractéristique χA de A est annulateur de A. Les deux polynômes ZχA(Z) et
χA (Z) - χA (0) sont dans Cn+1[Z] et s’annulent en 0 donc
Comme B est inversible, la première égalité entraîne χA(B)Y = 0, d’où -χA(0)X = -χA(0)Y .
Comme A est inversible, χA(0) = (-1)n detA≠0 et finalement X = Y .
Les
matrices A et B sont inversibles, X≠Y et, pour tout k {1,…,n}, AkX = BkY .
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a) On suppose que ∀k N*,AkX = BkY . Montrer que X = Y .
b) Déterminer le plus petit N de N* tel que, pour toutes matrices A,B GLn(C) et tous vecteurs X,Y de Cn, la condition ∀k {1,…,N},AkX = BkY implique X = Y .
Solution d’après Éric Pité
a) Supposons que, pour tout k {1,…,n + 1}, AkX = BkY . Par linéarité, on a donc :
b) On a donc N ≤ n + 1. Montrons que N = n + 1. Il suffit pour cela de donner un exemple. Soient
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