56. Soient n 2 un entier, A et B dans GLn(C), X et Y dans Cn.

a) On suppose que k ∈ N*,AkX = BkY . Montrer que X = Y .

b) Déterminer le plus petit N de N* tel que, pour toutes matrices A,B ∈ GLn(C) et tous vecteurs X,Y de Cn, la condition k ∈{1,,N},AkX = BkY implique X = Y .

Solution d’après Éric Pité

a) Supposons que, pour tout k ∈{1,,n + 1}, AkX = BkY . Par linéarité, on a donc :

∀P ∈ Cn+1 [Z ],  P(0) = 0  ⇒   P (A )X  = P(B)Y.
Le polynôme caractéristique χA de A est annulateur de A. Les deux polynômes A(Z) et χA (Z) - χA (0) sont dans Cn+1[Z] et s’annulent en 0 donc
0=AχA(A)X= B χA(B)Y   et  (χA(A )- χA(0)In)X  = (χA (B)- χA (0)In)Y.
Comme B est inversible, la première égalité entraîne χA(B)Y = 0, d’où -χA(0)X = -χA(0)Y . Comme A est inversible, χA(0) = (-1)n detA0 et finalement X = Y .

b) On a donc N n + 1. Montrons que N = n + 1. Il suffit pour cela de donner un exemple. Soient

(         )      (                )
0⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅  0  1        0  ⋅⋅⋅  ⋅⋅⋅  0  1       ( 1)      (2)
||2...     ...  0||      ||1   ...      ...  0||      | 0|      |0|
|| .   .  .||      ||    .   .   .  .||      || .||      ||.||
A=||01  ..  ..  ..|| ,B = ||0   ..   ..  ..  ..|| ,X = || ..|| ,Y = ||..|| .
|(..... ...     ..|)      |( ..  ...  ...     ..|)      ( 0)      (0)
.     0  .         .          0  .         0        0
0⋅⋅⋅ 0   1  0        0  ⋅⋅⋅   0  1  0
Les matrices A et B sont inversibles, XY et, pour tout k ∈{1,,n}, AkX = BkY .
[Liste des corrigés]