52. Soient n ∈ N*, A ∈ GLn(Z). Montrer que soit A a une valeur propre de module strictement supérieur à 1, soit il existe k ∈ N* tel que Ak - In est nilpotente.

Solution de Eric Pité

Supposons que toutes les valeurs propres de A sont de module au plus 1 , et montrons qu’il existe k∈N* tel que Ak - In est nilpotente. Cela revient à montrer que les valeurs propres de A sont des racines de l’unité. Il suffira alors de prendre pour k le ppcm des ordres des racines.

Les valeurs propres de A dans C comptées avec multiplicité sont λ1,…,λn, celles de Ak sont donc λk1, … , λkn. Notons

Pk := n ∏ i=1(X - λk i).

Ainsi Pk est le polynôme caractéristique de Ak, donc Pk ∈ Z[X]. Or les coefficients des Pk sont uniformément bornés et dans Z donc ils prennent un nombre fini de valeurs distinctes, ainsi l’ensemble des racines de ces polynômes est fini. Donc, pour tout i ∈ [[1,n]], l’ensemble {λki | k ∈ N * } est fini, il existe donc pi,qi ∈ N* tels que pi < qi et λp ii = λq ii, donc les λi sont des racines de l’unité.
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