42. Soient n 2 un entier, A et B dans Mn(R), t1,,tn+1 des nombres réels deux à deux distincts. Montrer que i ∈{1,,n + 1},det(A + tiB) = 0 si et seulement s’il existe deux sous-espaces vectoriels V et W de Rn tels que A(V ) W , B(V ) W et dimW < dim V .

Solution de Ivan Gozard

Supposons l’existence de deux sous-espaces vectoriels V et W de Rn tels que AX ∈ W et BX ∈ W pour tout X ∈ V , et dimV > dimW . Soit t ∈ R. Alors (A + tB)X = AX + tBX ∈ W pour tout X ∈ V . L’application linéaire X ∈ Rn↦→(A + tB)X envoie donc V dans W , et ne peut donc être injective puisque dimV > dimW . Ainsi A + tB est non inversible, donc de déterminant nul.

Pour le sens direct, supposons que det(A + tiB) = 0 pour tout i ∈ [ [1,n + 1]]. Notons a et b les endomorphismes de Rn canoniquement associées à A et B. L’hypothèse donne, pour tout i ∈ [ [ 1, n + 1]], un vecteur non nul ei de Rn tel que a(ei) + tib(ei) = 0. On pose V := Vect (e1 , , en+1) et W := b(V ) = Vect(b(e1),,b(en+1)). Notons que dimW dimV puisque b est linéaire. Notons aussi que a(ei) = -tib(ei) ∈ W pour tout i ∈ [ [1,n]], donc l’application linéaire a envoie V dans W .

Supposons que dimV = dimW . Comme b induit une surjection linéaire de V sur W , cette surjection est un isomorphisme, noté b. La fonction f : x ∈ V ↦→(b)-1(a(x)) ∈ V est donc un endomorphisme de V . Nous remarquons alors que f(ei) = -tiei pour tout i ∈ [ [1,n + 1]], ce qui montre que f possède au moins n + 1 valeurs propres. C’est absurde puisque dimV n.

Ainsi, dim W dimV , et finalement dimW < dimV .


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