39. Soit (A, B) ∈Mn(R)2 avec B2 = B.

Montrer que rg (AB - BA) ≤ rg(AB + BA).

La matrice B est une matrice de projecteur. En conjuguant par une matrice de Mn(R) on se ramène au cas où B = ( ) Ir 0 0 0 et A = ( ) U W V T avec U ∈Mr(R) et T ∈Ms(R). Il s’agit alors de prouver que

(0r - W ) (2U W ) rg V 0s ≤ rg V 0s (*)

Première preuve de (*)

Soit α = rg V et β = rg W . En composant à gauche par ( ) P 0 0 Q et à droite par ( ) R 0 0 S où P, R ∈ GL r (R ) et Q,S ∈ GLs(R) sont telles que

(0 0 ) (0 0 ) QVR = s-α,0r-α I etPW S = r-β,0s- β - I α β

on se ramène à prouver (*) lorsque

( ) ( ) 0s-α,r- α 0 0r-β,s-β 0 V = 0 Iα etW = 0 - Iβ

Notons U0 la matrice extraite de U obtenue en supprimant les α dernières colonnes et les β dernières lignes. Alors

( 2U 0 0 0 ) (2U W ) | 00 0 0 I | rgV 0 = rg|( 0 β0,α 0 0β |) s 0 I s-α0,r-β 0 α (α,β ) = rg(2U0 )+ α+ β ≥ α +β = 0r - W V 0s

Deuxième preuve de (*)

Il suffit de monter que le rang du système linéaire { VX = 0 W Y = 0 d’inconnue (X,Y ) ∈Mr,1(R)×Ms,1(R) est majoré par le rang du système { VX = 0 2U X + W Y = 0. Ce résultat est une conséquence immédiate du lemme géométrique suivant

Lemme 1.Soient E,F,G,H des R-espaces vectoriels de dimensions finies, u ∈L(E,H), v ∈ L(E, G) et w ∈L(F,H). Alors, si Z = {(x,y) ∈ Kerv × F∣2u(x) + w(y) = 0}, on a : dim Z ≤ dim(Kerv × Kerw).

Démonstration. Si (x,y) ∈ Z, x ∈ u-1(Imw), d’où

Z = {(x, y) ∈ (Kerv ∩ u-1(Imw)) × F∣2u(x) + w(y) = 0}.

Soit alors Φ : (Kerv ∩ u-1(Imw)) × F → H, (x,y)↦→2u(x) + w(y). On constate que ImΦ = Im w d’où

-1 dimZ= dim Ker Φ = dim(Ker v∩ u (Im w))+ dim F - rg Φ ≤ dim Ker v +dim F - rgw = dim Ker v+ dimKer w = dim (Ker v× Ker w) -|

Remarque : le résultat reste vrai sur un corps quelconque.
[Liste des corrigés]


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