37. Soient (m, n) ∈ N*× N*, A1,…,Am des éléments idempotents de Mn(R), c’est-à-dire vérifiant Ak Ak = Ak. Montrer que m ∑ i=1(n - rg(Ai))≥ rg (In - m ∏ i=1Ai).

Solution de David Alexander

Ce n’était pas précisé par l’énoncé, mais le produit des Ai est, mettons, le produit A1…Am.

Notons, pour tout k ∈{1,…,m}, Bk = ∏m i=kAi et Bm+1 = In. Alors

∏m m∑ In - Ai = In - B1 = (Bk+1 - Bk). i=1 k=1
Pour tout k ∈ {1,…,m}, Ak est idempotent donc  Ak(Bk+1 - Bk) = 0, c’est-à-dire Im(Bk+1 - Bk ) ⊂ KerAk. On en déduit
( m∏ ) ∑m ∑m Im In - Ai ⊂ Im (Bk+1 - Bk ) ⊂ Ker Ak, i=1 k=1 k=1
puis, en utilisant le théorème du rang,
(m∏ ) (∑m ) ∑m m∑ rgIn-Ai ≤ dim Ker Ak ≤ dim Ker Ak = (n - rgAk). i=1 k=1 k=1 k=1

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