36. Soit un entier n > 0. Trouver les fonctions f de Mn(R) dans R telles que, pour toutes X et Y de Mn (R ), f(XY ) min{f(X),f(Y )}.

Pour tous X, Y de Mn(R) on a rg(XY ) min{rg(X),rg(Y )}.

Ainsi la fonction rg est solution du problème. On en déduit que pour toute fonction croissante g : [[0, n]] R , X↦→g(rg X) est solution du problème.

Montrons la réciproque.

Soit f une solution du problème.

Soit X dans Mn (R). Pour toute P de GLn(R) on a f(PX) f(X). Comme X = P-1(PX) on a f(X) f(PX). Ainsi f(PX) = f(X). De même f(XP) = f(X).

Ainsi f(PXQ) = f(X) pour toutes P,Q inversibles. Or deux matrices X et Y ont même rang si et seulement s’il existe P et Q inversibles telles que PXQ = Y .

Il existe donc g : [[0,n]] R telle que f(X) = g(rg(X)). Il reste à montrer que g est croissante.

Pour toute r de [[0,n]], on a g(r) = f(Jr) Jr = Diag(Ir,On-r) (Oq est la matrice carrée nulle de taille q). Mais si r s alors JrJs = Jr et f(Jr) f(Js) donc g(r) g(s). La preuve est complète.


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