[Table des matières]

Résumé. Le théorème de Lévy relie la convergence en loi d’une suite de variables aléatoires à la convergence simple de leurs fonctions caractéristiques. L’objectif de l’article est de le démontrer et de mettre en perspective les outils de topologie et d’analyse fonctionnelle qui interviennent dans la preuve. On examinera ensuite quelques applications dudit théorème.

Abstract. Lévy’s continuity theorem

Lévy’s continuity theorem relates convergence in distribution of a sequence of random variables with pointwise convergence of their characteristic functions. In this paper we prove this theorem and highlight the main ideas from topology and functional analysis which underlie the proof. We also discuss some important applications of Levy’s theorem.

Mots-clés : Convergence en loi, transformation de Fourier, compacité faible, théorème central limite.

1.Introduction

En probabilités, le théorème de Lévy¹1. Paul Lévy (1886-1971), mathématicien français, un des fondateurs de la théorie moderne des probabilités. Il fut professeur à l’X pendant 40 ans. (Lévy’s continuity theorem en anglais) donne une caractérisation simple et puissante de la convergence en loi des suites de variables aléatoires réelles (v.a.r.) à l’aide de leurs fonctions caractéristiques² . Nous en donnons deux énoncés. Voici le premier, qui est assez facile à démontrer et suffira pour établir le plus célèbre corollaire du théorème de Lévy, le théorème central limite (voir § 9.2).

Théorème de Lévy (version faible).
Une suite (X_n ) de v.a.r. converge en loi vers une v.a.r. X si et seulement si la suite de leurs fonctions caractéristiques (φ_Xn), définies par :

converge simplement vers φ_X.

La version suivante, plus puissante, est quant à elle utile dans des applications plus sophistiquées (nous en verrons quelques unes à la fin de cet article, §§ 9.3–4).

Théorème de Lévy (version forte).
Soit (X_n ) une suite de v.a.r. dont les fonctions caractéristiques φ_Xn convergent simplement en tout point de R vers une fonction ϕ. On suppose que ϕ est continue en 0. Alors ϕ est la fonction caractéristique d’une v.a.r. X et la suite (X_n) converge en loi vers X.

Les principaux outils que nous introduirons pour démontrer le théorème de Lévy sont la transformation de Fourier des mesures ainsi que des propriétés de compacité faible de suites de mesures. Il ne nous semble d’ailleurs pas exagéré de dire que le théorème de Lévy est un théorème d’analyse fonctionnelle appliquée aux probabilités.

Organisation de l’article.

• Dans la section 2, on rappelle les définitions usuelles de la convergence en loi, illustrées d’exemples variés. La section 3 donne la définition et les propriétés fondamentales des fonctions caractéristiques de v.a.r.
• La section 4 est consacrée à la preuve de la version faible du théorème de Lévy, faisant intervenir le fameux ≪ lemme du portemanteau ≫.
• Dans la cinquième partie, on établit l’équivalence des deux définitions usuelles de la convergence en loi, puis on esquisse une première preuve de la version forte du théorème de Lévy en raisonnant avec les fonctions de répartition.
• Les parties 6 et 7 développent une autre preuve, plus longue mais à notre avis d’un intérêt plus profond, à l’aide d’arguments de topologie et d’analyse fonctionnelle qui sont en fait au cœur du théorème de Lévy. Dans la section 8 on donne quelques compléments dans cette direction en présentant très succinctement les topologies faibles dans les espaces de Banach.
• La section 9 présente quelques applications marquantes du théorème de Lévy : théorème central limite ; critère de Polya et théorème de Bochner sur les fonctions caractéristiques.
• Enfin dans la section 10, on expose d’une part quelques résultats complémentaires et on examine d’autre part la généralisation à des vecteurs aléatoires dans R^d du théorème de Lévy.

Les variables aléatoires seront définies sur un (ou si besoin plusieurs) espace(s) probabilisé(s) (Ω, , P) ; on note E l’espérance. Sauf mention contraire (et à l’exception de P), toutes les mesures considérées dans cet article sont des mesures boréliennes positives et finies sur R.

2.La convergence en loi

2.1.Les trois modes de convergence de variables aléatoires

En probabilités, l’étude asymptotique des suites de variables aléatoires fait intervenir trois principaux modes de convergence : presque sûrement, en probabilité et en loi. Nous rappelons pour mémoire les définitions des deux premiers avant de nous concentrer sur le troisième.

Il y a plusieurs façons de définir la convergence en loi. Nous donnons ici les deux plus courantes : l’une qu’on peut qualifier de définition par dualité avec des ≪ fonctions tests ≫ continues bornées, et l’autre via les fonctions de répartition. L’équivalence de ces deux définitions est non triviale et sera établie plus loin au § 5.

Définition et proposition 2. On dit qu’une suite (X_n) de v.a.r. converge en loi vers une v.a.r. X si l’une des deux propriétés équivalentes suivantes est vérifiée :

(A)

pour toute fonction f continue et bornée sur R, on a E→ +∞]E ;

(B)

la suite (F_n) des fonctions de répartition des variables X_n converge vers la fonction de répartition F de X en tout point de continuité de cette dernière.

On rappelle que la fonction de répartition d’une v.a.r. X est l’application F : R → [0,1] définie par : F(x) = P pour tout x R. La propriété B ci-dessus signifie que la suite (F_n) converge simplement vers F sur R \S, où S désigne l’ensemble des points de discontinuité de F . Il faut noter que S est au plus dénombrable car la fonction F est croissante (c’est l’ensemble des points où F fait un saut > 0).

La convergence en loi d’une suite de variables aléatoires (parfois appelée aussi convergence en distribution) se note généralement X_n.

On démontre classiquement que la convergence presque sûre implique la convergence en probabilité, qui elle-même implique la convergence en loi, et que les réciproques sont fausses (voir par exemple [BL]). Le lecteur pourra expérimenter les différences entre ces trois modes de convergence en résolvant l’exercice suivant.

Exercice. Soit (X_n) une suite de v.a. de Bernoulli indépendantes. Pour tout n N, on note p_n = P le paramètre de X_n.
a. Montrer que la suite de v.a. (X_n) converge en loi si et seulement si la suite (p_n) converge, et que la limite est alors une variable de Bernoulli.
b. On suppose que (X_n) converge en probabilité. Montrer que P tend vers 0. En déduire que (p_n) converge vers 0 ou 1. Étudier la réciproque.
c. Montrer à l’aide des lemmes de Borel-Cantelli que la suite (X_n) converge presque sûrement vers 0 si et seulement si la série p_n est convergente. En déduire une condition nécessaire et suffisante pour que (X_n ) converge presque sûrement.

Exercice. Une suite de v.a.r. (X_n) converge en loi vers une variable constante X = a si et seulement si elle converge en probabilité vers cette constante.

2.2.Reformulation de la définition à l’aide des lois

Dans toute la suite de cet article, nous noterons μ_n la loi de X_n et μ la loi de X. Ce sont les mesures de probabilité sur R définies par : pour tout borélien A ⊂ R, μ_n(A) = P, et de même pour μ(A). Pour mémoire, rappelons que le théorème de transfert s’énonce à l’aide de ces mesures : étant donné une fonction borélienne f : R → R, la v.a. f(X) admet une espérance si et seulement si f est μ-intégrable et on a alors

La définition de la convergence en loi peut se reformuler ainsi : la suite (X_n) converge en loi vers X si

  (A’)  pour toute fonction f continue et bornée sur R,

ou de manière équivalente,

  (B’)  pour tout réel x tel que μ({x}) = 0, on a μ_n(]-∞,x])→ +∞]μ(]-∞,x]).

Observation importante (qu’il est bon de toujours garder en tête dès qu’on parle de convergence en loi) : la convergence en loi d’une suite de variables aléatoires (X_n) ne fait intervenir que les lois de ces variables aléatoires ; c’est en fait une convergence de la suite de leurs lois, et non des variables elles-mêmes (contrairement aux deux autres modes de convergence).

Remarque. Puisque seules les lois interviennent, on peut se permettre de parler de convergence en loi pour des v.a.r. X_n et X qui ne sont pas définies sur le même espace probabilisé. D’autre part, la variable limite X n’est pas unique, seule sa loi est déterminée de manière unique. De ce fait, on emploie parfois par abus de langage des tournures abrégées du type : la suite (X_n) converge en loi vers μ (au lieu de : converge vers une variable de loi μ).

2.3.Exemples

Nous admettons, pour traiter les exemples qui suivent, l’équivalence des deux définitions A et B de la convergence en loi.

∙ 

Cas où les variables X_n et X sont presque sûrement constantes : X_n = c_n R pour tout n et X = c R.
Si c_n → c, alors (X_n) converge en loi vers X. En effet, en utilisant la définition A, pour toute fonction f continue et bornée sur R, on a E = f(c_n) → f(c) = E (en fait on a ici la convergence presque sûre de X_n vers X bien entendu).

Réciproquement, si (X_n) converge en loi vers X, en prenant par exemple la fonction f : x exp(-|x - c|) (fonction ayant un maximum global strict en c), on obtient |c_n - c| → 0.

Cet exemple montre, au passage, la nécessité d’exclure, dans la définition B, les points de discontinuité de la fonction de répartition limite F . Si c_n = 1⁄n par exemple, on voit que F_n (x) = 1_x≥ converge vers F(x) = 1_x≥0 pour tout x R^* mais pas pour x = 0.

∙ 

Soit U_n une variable de loi uniforme sur l’ensemble {0,1⁄n,2⁄n,…,1}, alors la suite suite (U_n ) converge en loi vers une variable U à densité uniforme sur [0,1]. En effet, en notant δ_x la mesure de Dirac au point x (telle que δ_x({x}) = 1 et δ_x(R \{x}) = 0), on a ici μ_n = (δ₀ + δ_1⁄n + ... + δ₁) et μ est la mesure de Lebesgue sur [0,1] ; si f est une fonction continue, la somme de Riemann

converge vers E = f(u)d u.

∙ 

Pour les variables à valeurs entières, on dispose d’un critère très simple de convergence en loi :

Lemme 1.Si les X_n et X sont à valeurs dans N, alors la suite (X_n) converge en loi vers X si et seulement si :

Ce lemme découle immédiatement de la définition B de la convergence en loi, en remarquant qu’une fonction de répartition de variable à valeurs dans N vérifie, pour tout x [k,k + 1[, F(x) = P + ... + P.

On peut en déduire de nombreux exemples de convergence en loi, par exemple le théorème de Poisson : si X_n suit une loi binomiale (n,p_n) avec np_n → λ > 0 lorsque n → +∞, alors X_n converge en loi vers une variable de Poisson de paramètre λ. Un autre exemple classique est fourni par les permutations aléatoires : si X_n désigne le nombre de points fixes d’une permutation choisie aléatoirement selon la loi uniforme dans le groupe symétrique S_n, on peut calculer la loi de X_n et vérifier que, pour tout k N , P_n(X_n = k) tend vers 1⁄(k!e) (on a noté P_n la probabilité uniforme sur S_n ). Ainsi la suite (X_n) converge en loi vers une variable de Poisson de paramètre 1.

Exercice. Montrer que le lemme 1 s’étend au cas de variables à valeurs dans Z.

Indication pour prouver la suffisance de la condition du lemme. Étant donné ε > 0, fixer A > 0 tel que P ≥ 1 - ε puis n₀ tel que P ≥ 1 - 2ε pour tout n ≥ n₀ , afin de contrôler les queues des distributions uniformément par rapport à n.

∙ 

Pour des variables à densité, on dispose du résultat suivant qui fournit une condition suffisante de convergence en loi.

Théorème 1 (Scheffé). Soit (X_n) une suite de v.a.r. à densité : dμ_n(x) = ρ_n(x)d x pour tout n. Si la suite (ρ_n) converge presque partout vers une densité ρ, alors (X_n) converge en loi vers une variable de densité ρ.

N.B. Le fait que ρ soit d’intégrale 1 est une hypothèse indispensable de ce théorème.

Preuve succincte : l’idée consiste à remarquer que inf(ρ_n,ρ) tend vers ρ = 1 (par convergence dominée) ; on en déduit que |ρ_n - ρ| tend vers 0 (grâce à l’identité |a - b| = a + b - 2inf(a,b)) ; ceci permet de conclure aisément.

∙ 

La condition du théorème de Scheffé n’est pas nécessaire pour obtenir la convergence en loi d’une suite de variables à densité. Soit par exemple X_n la variable de densité ρ_n (x) = 1 + sin(2nπx) si x [0,1], ρ_n(x) = 0 sinon, alors la suite (X_n) converge en loi vers une variable X de loi uniforme sur [0,1] (cela résulte du lemme de Riemann-Lebesgue en appliquant la définition A).

∙ 

On lance une pièce de monnaie qui tombe sur pile avec probabilité 1⁄n. Soit X_n le nombre de lancers nécessaires pour obtenir une fois pile : X_n suit la loi géométrique de paramètre 1⁄n. La fonction de répartition de la variable normalisée Y _n = X_n⁄n est donnée par : F_{Y n} (x) = P = 0 si x ≤ 0, et pour x > 0,

La limite est connue : c’est la fonction de répartition de la loi exponentielle de paramètre 1. Ainsi la suite (Y _n) converge en loi vers une variable de loi (1).

∙ 

Exercice. Le problème des anniversaires.

Soit n N ^* et (X_i)_i≥1 une suite de v.a. indépendantes de loi uniforme sur {1,…,n}. On pose T_n = inf {k ≥ 1∣∃i < k, X_k = X_i} (on tire successivement des numéros au hasard dans l’ensemble {1,…,n} jusqu’à ce qu’un même numéro apparaisse deux fois). Pour tout k N, on a

Pour n = 365, ceci est la probabilité que dans un groupe de k personnes il n’y en ait pas deux qui fêtent leur anniversaire le même jour.
Déterminer les fonctions de répartitions de T_n puis de T_n⁄. Montrer que En déduire que la suite des T_n⁄ converge en loi vers une variable de densité xe^-x2⁄2 sur R(loi de Rayleigh).

3.Fonction caractéristique d’une mesure

En analyse fonctionnelle, on parlerait de transformée de Fourier de la mesure finie μ (avec une différence de signe dans l’exposant par rapport aux usages des analystes). Si μ est une mesure à densité, alors est simplement la transformée de Fourier (au sens habituel) de sa densité.

On trouvera en annexe de cet article une table des fonctions caractéristiques usuelles.

Propriétés évidentes : est continue sur R (par continuité sous le signe intégrale) et bornée : | (t)| ≤ (0) = μ(R) = 1. Elle vérifie aussi (-t) = (t) pour tout réel t.

Exercice. Montrer que est uniformément continue sur R.
Indication : écrire | (t) - (s)|≤d μ(x) et utiliser le théorème de convergence dominée.

Exercice. a. Montrer que si μ admet un moment d’ordre n (i.e. E < ∞), alors est de classe ⁿ et écrire son développement limité en 0 à l’ordre n à l’aide des moments de μ.

b. Pour n = 2, montrer réciproquement que si est deux fois dérivable en 0, alors μ admet une variance finie.

Indication : exprimer ( (h) - 2 (0) + (-h)) sous forme d’une intégrale et faire tendre h vers 0.

c. Trouver une probabilité μ n’admettant pas de moment d’ordre 1 mais telle que soit dérivable en 0.

Indication : prendre une mesure à densité ρ(x)d x avec ρ paire et ρ(x) = C⁄(x² ln|x|) au voisinage de l’infini.
(De façon générale, on peut démontrer que les entiers n pour lesquels l’existence de ⁽ⁿ⁾(0) entraîne la finitude de E sont exactement les entiers pairs.)

Comme son nom l’indique, la fonction caractéristique caractérise la loi d’une variable aléatoire.

Démonstration. On suppose que = . L’idée est assez limpide : par hypothèse, l’égalité

est vraie lorsque f est une fonction exponentielle du type xe^itx ; par linéarité, c’est encore vrai pour toute combinaison linéaire (finie) de telles exponentielles. On peut alors espérer établir cette même égalité pour toute fonction f assez sympathique en l’exprimant comme une ≪ superposition d’exponentielles de module 1 ≫à l’aide de sa transformée de Fourier. Il sera facile ensuite d’en déduire l’égalité des deux mesures.

Soit f une fonction continue et intégrable sur R. Définissons sa transformée de Fourier avec la convention de signe des probabilistes :

Supposons intégrable sur R elle aussi, alors d’après la formule d’inversion de Fourier, on a (égalité partout car f est continue) ; cette intégrale est en quelque sorte une ≪ superposition d’exponentielles de module 1 ≫. Nous calculons alors Le théorème de Fubini s’applique (car L¹(R) et μ est une mesure finie), ce qui donne Si = , on en déduit que Ceci est vrai pour toute fonction f L¹(R) ∩ C⁰(R) telle que L¹(R). En particulier, c’est valable pour toute fonction f de classe ² à support compact. En effet, pour une telle fonction, une double intégration par parties conduit à (t) = -t² (t), or est bornée sur R , donc (t) = O(1⁄t²) au voisinage de ±∞. Il en résulte que est bien intégrable sur R .

On en déduit ensuite que μ(]a,b[) = ν(]a,b[) pour tout intervalle ouvert borné ]a,b[, en effet on peut construire une suite (f_n) de fonctions de classe C² à support dans ]a,b[ qui converge en croissant vers la fonction indicatrice de ]a,b[, et par convergence monotone il vient

c’est-à-dire μ(]a, b[) = ν(]a,b[). Ceci entraîne alors l’égalité des mesures μ et ν. cqfd

Exercice. Établir la formule d’inversion suivante pour la transformation de Fourier des mesures de probabilité : pour tous réels a et b tels que a < b,

Indication : utiliser le théorème de Fubini puis le théorème de convergence dominée.

4.Le théorème de Lévy (version faible)

Si μ est une mesure finie sur R et f une fonction μ-intégrable (par exemple continue et bornée sur R), il sera commode de noter désormais ⟨f,μ⟩ l’intégrale

Formulée en termes de mesures, la version faible du théorème de Lévy s’énonce ainsi :

Dans cette section, nous allons démontrer cet énoncé. Ceci nous permettra déjà de mettre en évidence un certain nombre d’idées et de techniques qui sont sous-jacentes au théorème de Lévy. La preuve de la version forte, qui nécessite davantage de machinerie, sera faite plus loin.

L’implication directe étant évidente, il s’agit d’établir la réciproque. Nous supposons donc que ( _n) converge simplement vers . Nous souhaitons établir la convergence, pour toute fonction f continue et bornée sur R , ⟨f,μ_n⟩→⟨f,μ⟩ . Il s’agit d’un pur problème d’analyse dans lequel n’apparaît plus aucune variable aléatoire.

Nous allons prouver successivement que ⟨f,μ_n⟩→⟨f,μ⟩ pour f C² à support compact, puis pour f continue à support compact et enfin pour f continue et bornée.

1^ère étape : f est une fonction ² sur R à support compact.
Par le même argument que dans la preuve de l’injectivité de la transformation de Fourier des mesures, on établit les égalités

pour tout n N , et de même pour μ. La suite ( _n) converge simplement vers et on a la domination (t) _n(-t)≤ (t), avec L¹(R), donc par convergence dominée il vient ⟨f, μ_n ⟩ → ⟨f, μ⟩.

2^e étape : f est une fonction continue sur R à support compact.
On utilise un argument de densité. Soit ε > 0, il existe une fonction g ²(R) à support compact telle que ∥f - g ∥_∞≤ ε. On a alors ≤ ε pour tout n, et de même avec μ (car ce sont des mesures de masse 1). D’autre part, d’après l’étape précédente, il existe n₀ N tel que, pour tout n ≥ n₀ , on ait ≤ ε. Il vient alors, pour n ≥ n₀, ≤ 3ε, et on a bien établi la convergence ⟨f,μ_n⟩→⟨f,μ⟩.

La 3^e étape est donnée par le lemme suivant.

Lemme du portemanteau. Si les μ_n et μ sont des mesures de probabilité sur R, il y a équivalence entre
  (i)pour toute fonction f continue et à support compact, ⟨f,μ_n⟩→⟨f,μ⟩ ;
  (ii)pour toute fonction f continue et bornée, ⟨f,μ_n⟩→⟨f,μ⟩.

Démonstration du lemme. Il suffit de prouver que (i)(ii). L’idée est d’utiliser une troncature par une fonction ψ continue à support compact et valant 1 sur un segment assez large ; le point clé étant de trouver un segment qui convienne à la fois pour toutes les μ_n (au moins à partir d’un certain rang) et μ.
Soit ε > 0. Il existe un segment assez grand [-A,A] tel que μ(R \ [-A,A]) ≤ ε. Soit ψ une fonction continue, égale à 1 sur [-A,A], nulle en dehors de [-A- 1,A + 1] et telle que 0 ≤ ψ ≤ 1. On a ⟨ψ, μ⟩ ≥ μ([-A,A]) ≥ 1 - ε. Par hypothèse, il existe un rang n₀ tel que, pour tout n ≥ n₀, ⟨ψ, μ_n ⟩ ≥ ⟨ψ, μ⟩ - ε ≥ 1 - 2ε, autrement dit

Soit maintenant f une fonction continue et bornée sur R. On écrit f = fψ + f(1 - ψ). Par hypothèse, fψ étant à support compact grâce à la troncature, on a ⟨fψ,μ_n⟩→⟨fψ,μ⟩. Pour n assez grand, on a donc |⟨fψ,μ_n⟩-⟨fψ,μ⟩|≤ ε. Pour l’autre morceau, on a

et de même, pour tout n ≥ n₀ . On en déduit, pour n assez grand : |⟨f,μ_n⟩-⟨f,μ⟩|≤ε. Comme ε est arbitrairement petit, ceci prouve le lemme du portemanteau. cqfd

Commentaire. La preuve ci-dessus fonctionne car la presque totalité de la masse des mesures μ_n et μ est contenue dans un même compact (le support de ψ), à 2ε près : c’est le sens de l’inégalité ⟨1 - ψ, μ_n ⟩ ≤ 2ε, qui entraîne μ_n(R \ [-A- 1,A + 1]) ≤⟨1 -ψ,μ_n⟩≤ 2ε pour tout n ≥ n₀. On dit alors que la suite de mesures (μ_n) est tendue. En termes intuitifs : la masse des μ_n au voisinage de l’infini est petite, uniformément par rapport à n. Cette propriété très importante jouera un rôle essentiel dans la suite de cet article (voir § 6).

Exercice. Montrer que si la suite (X_n) converge en loi vers X, alors la suite (φ_Xn) converge vers φ_X uniformément sur tout compact.

Indication : à l’aide des mêmes idées que ci-dessus, montrer que la suite (φ_Xn) est équicontinue.

Notations : dans toute la suite,
C_b (R ) désigne l’espace des fonctions continues et bornées sur R,
C₀ (R ) désigne l’espace des fonctions continues sur R et tendant vers 0 en ±∞,
C_c (R ) désigne l’espace des fonctions continues sur R à support compact.
Ces espaces seront toujours munis de la norme uniforme ∥⋅∥_∞ ; les deux premiers sont complets, pas le troisième.

Pour des mesures de probabilité μ_n et μ (ou plus généralement des mesures toutes de même masse), ces trois convergences sont équivalentes d’après le lemme du portemanteau. Il n’en va pas de même pour des mesures de masse quelconque, car il peut y avoir perte de masse à l’infini dans la convergence faible * et la convergence vague. Par exemple, la suite des masses de Dirac (δ_n ) converge faiblement * vers 0, mais pas étroitement. La convergence étroite quant à elle force la conservation de la masse totale (prendre f = 1 C_b(R), il vient μ_n (R ) → μ(R )).

La convergence étroite des mesures est celle qui nous intéresse car elle traduit la convergence en loi des variables aléatoires (c’est notre définition A’ du § 2). La convergence faible * est utile en analyse fonctionnelle pour ses bonnes propriétés topologiques comme on le verra par la suite. La convergence vague est rarement utilisée pour elle-même.

5.Retour aux fonctions de répartition

Avant de nous attaquer à la preuve de la version forte du théorème de Lévy, faisons un aparté pour établir l’équivalence des deux définitions A et B de la convergence en loi. On prouve en fait l’équivalence de A’ et B’ à l’aide du lemme du portemanteau. Dans tout ce qui suit, les diverses μ_n, et μ, sont des mesures de probabilité sur R.

Supposons la propriété B’ vérifiée : la suite des fonctions de répartition des μ_n converge simplement vers celle de μ en tout point de continuité de cette dernière. Notons S l’ensemble des points de discontinuité de la fonction de répartition de μ (c’est l’ensemble fini ou dénombrable des atomes de μ, i.e. des réels x tels que μ({x})≠0). Pour tous a et b R \ S tels que a < b, on a

lorsque n → +∞. Autrement dit ⟨f,μ_n⟩→⟨f,μ⟩ pour toute fonction indicatrice f = 1_]a,b] d’un intervalle semi-ouvert à gauche dont les extrémités n’appartiennent pas à S. La même convergence est valable pour toute combinaison linéaire de telles fonctions, c’est-à-dire pour toute fonction en escalier continue à gauche et associée à une subdivision constituée de points de R \S. Maintenant, soit f une fonction continue à support compact. On peut l’approcher uniformément par des fonctions en escalier de la sorte indiquée à l’instant (car R \ S est dense dans R). Soit ε > 0 ; il existe une telle fonction en escalier g telle que ∥f - g∥_∞≤ ε. On a alors |⟨f - g,μ_n⟩|≤ ε et de même avec μ, et ⟨g,μ_n⟩→⟨g,μ⟩. On en déduit que, pour n assez grand, |⟨f,μ_n⟩-⟨f,μ⟩|≤ 3ε et on obtient ainsi la convergence vague de (μ_n) vers μ (c’est-à-dire pour des fonctions tests continues à support compact). Comme les μ_n et μ sont toutes de masse 1, le lemme du portemanteau permet de conclure : (μ_n) converge étroitement vers μ, ce qui établit la propriété A’.

Passons à l’implication réciproque A’B’. On suppose que (μ_n) converge étroitement vers μ, et il s’agit d’établir la convergence ⟨f,μ_n⟩→⟨f,μ⟩ lorsque f est la fonction indicatrice d’une demi-droite ]- ∞,x] avec x un réel tel que μ({x}) = 0. On va encadrer cette fonction indicatrice par des fonctions continues en la modifiant dans un petit voisinage de x. On a

(par continuité décroissante de la mesure μ). Fixons ε > 0, il existe donc δ > 0 tel que μ([x - δ, x + δ]) ≤ ε. Soit f₁ la fonction égale à 1 sur ]-∞,x-δ], égale à 0 sur [x,+∞[ et affine sur [x - δ, x] ; de même soit f₂ la fonction égale à 1 sur ]-∞,x], égale à 0 sur [x + δ,+∞[ et affine sur [x, x + δ,]. Alors on a f₁ ≤ 1_]-∞,x] ≤ f₂, et Comme f₁ et f₂ sont continues et bornées sur R, on sait que ⟨f₁,μ_n⟩→⟨f₁,μ⟩ et de même pour f₂ . Dans l’encadrement le premier et le dernier membre convergent, donc pour n assez grand, on a Le même encadrement est évidemment vérifié par μ(]-∞,x]). L’amplitude de l’encadrement étant d’au plus 3ε, on obtient, pour n assez grand, μ_n(]-∞,x]) - μ(]-∞,x])≤ 3ε. Ceci prouve la propriété B’, c’est-à-dire la convergence simple de la suite des fonctions de répartition en tout point de continuité de la fonction de répartition de μ. cqfd

Exercice. Montrer que si (μ_n) converge étroitement vers μ et que μ n’a pas d’atome (i.e. sa fonction de répartition est continue), alors la fonction de répartition de μ_n converge uniformément sur R vers celle de μ.

l’aide des fonctions de répartition, on peut donner une première démonstration de la version forte du théorème de Lévy. Cette preuve a l’avantage de la rapidité, mais l’inconvénient de masquer l’enracinement profond de ce théorème dans l’analyse fonctionnelle que nous mettrons en évidence plus loin. La fin de ce paragraphe est consacrée à donner les grandes lignes de cette preuve rapide. Elle repose sur le théorème suivant, qu’on peut voir comme une sorte de théorème de compacité des fonctions de répartition.

Théorème de Helly. Soit (F_n) une suite de fonctions de répartition de variables aléatoires réelles. Il existe une sous-suite (F_nk) et une fonction G : R → R continue à droite et croissante telles que (F_nk) converge simplement vers G en tout point de continuité de G.

Démonstration succincte. Les fonctions F_n sont bornées par 0 et 1. x fixé, on peut donc extraire une sous-suite convergente de (F_n(x))_n≥0. l’aide du procédé diagonal de Cantor, on peut montrer l’existence d’une suite extraite de (F_n) qui converge en tout point x Q (à l’aide d’une énumération des rationnels) ; on note F : Q → R la limite simple. On pose alors, pour tout x R ,

On vérifie aisément que G est croissante et continue à droite, puis on prouve qu’en tout point de continuité de G, on a F_nk(x) → G(x) (en encadrant G(x) à ε près par des F(r₁) et F(r₂) avec r₁ et r₂ rationnels tels que r₁ < x < r₂, etc). cqfd

N.B. On rappelle qu’une fonction G : R → R est une fonction de répartition si et seulement si elle est croissante, continue à droite et admet pour limites 0 et 1 en -∞ et + ∞. La fonction G donnée par le théorème de Helly n’est pas nécessairement une fonction de répartition car ses limites l^- et l⁺ en -∞ et + ∞ vérifient seulement 0 ≤ l^- ≤ l⁺ ≤ 1. Par exemple, si F_n est la fonction indicatrice de la masse de Dirac δ_n au point n, alors F_n converge simplement sur R vers G = 0 qui n’est pas une fonction de répartition. On retrouve ici le phénomène de perte de masse à l’infini (la masse perdue vaut précisément 1 - (l⁺ - l^- )).

Application à la preuve de la version forte du théorème de Lévy. On considère une suite (μ_n) de probabilités sur R dont la suite des transformées de Fourier ( _n) converge simplement vers une fonction ϕ continue en 0. Il résulte du théorème de Helly qu’il existe une fonction G continue à droite et croissante sur R, et une sous-suite (μ_nk) dont les fonctions de répartition convergent simplement vers G en tout point de continuité de G. Pour montrer qu’il n’y a pas de perte de masse et que G est bien la fonction de répartition d’une mesure de probabilité, on prouve que la suite de mesures (μ_n ) est tendue (voir définition ). Nous ne détaillons pas cette étape ici, en effet ce point sera établi au § 7 à l’aide d’un calcul astucieux consistant à intégrer les fonctions caractéristiques au voisinage de 0 et utilisant la continuité de ϕ en 0. De la tension de la suite extraite (μ_nk ), découle facilement l’inégalité l⁺ - l^-≥ 1 et par suite G est bien la fonction de répartition d’une mesure de probabilité μ ; on peut alors affirmer que (μ_nk) converge étroitement vers μ (via la définition B’). Par conséquent on a = ϕ et on est ramené à la version faible du théorème de Lévy : _n converge simplement vers , ce qui conclut le raisonnement.

Réf. On trouvera les détails de cette démonstration et de la preuve du théorème de Helly dans [Bi] ou [D].

6.Compacité faible des mesures

Dans ce paragraphe et le suivant, nous donnons une preuve plus longue mais plus éclairante de la version forte du théorème de Lévy, à l’aide d’outils d’analyse fonctionnelle. Le principe de cette démonstration se résume ainsi : établir des propriétés de compacité faible pour la suite de lois (μ_n) puis se ramener à la version faible du théorème à l’aide d’une valeur d’adhérence μ de la suite (μ_n ), qui vérifiera = ϕ.

Nous allons d’abord établir un théorème de compacité pour la convergence faible * des mesures (dont nous verrons qu’il relève en fait de propriétés extrêmement générales des topologies faibles dans les espaces de Banach), puis un théorème de compacité pour la convergence étroite (le théorème de Prokhorov, qui est quant à lui spécifique aux mesures).

Avantage de ce théorème : il s’applique sans aucune hypothèse restrictive (c’est presque trop beau pour être vrai !) Inconvénient : la mesure limite n’est pas nécessairement une probabilité, vu que la convergence faible * des mesures ne garantit pas la conservation de la masse totale (on a déjà vu le contre-exemple des masses de Dirac δ_n).

Démonstration. Le point de départ consiste à transformer les μ_n en des formes linéaires continues Λ_n sur l’espace C₀(R) en posant Λ_n(f) = ⟨f,μ_n⟩ pour toute fonction f C₀(R). On montrera qu’il existe une sous-suite (Λ_nk) qui converge simplement en tout point de C₀(R) vers une forme linéaire continue Λ (c’est possible grâce à la séparabilité de l’espace C₀(R)) et on conclura grâce au théorème de représentation de Riesz qui permettra de retransformer Λ en une mesure.

1^ère étape. Montrons que l’espace de Banach C₀(R) (muni de la norme uniforme) est séparable, c’est-à-dire qu’il possède une partie dénombrable dense.
Le sous-espace C_c(R) est clairement dense dans C₀(R), il suffit donc de trouver une famille dénombrable de fonctions qui permet d’approcher uniformément toute fonction continue à support compact. Soit f C_c(R) et N N^* un entier tel que le support de f soit contenu dans [-N,N]. Soit ψ_N une fonction continue, égale à 1 sur [-N,N] et nulle en dehors de [-N - 1,N + 1]. On sait qu’on peut approcher uniformément f sur le segment [-N - 1, N + 1] par une suite (P_k) de polynômes de R[X]. Quitte à approcher les coefficients de ces polynômes par des rationnels, on peut supposer que les P_k sont dans Q[X]. Alors la suite de fonctions (ψ_NP_k)_k≥0 converge uniformément vers ψ_Nf sur R (car ψ_N = 0 en dehors de [-N - 1,N + 1]). Or ψ_Nf = f car ψ_N = 1 sur le support de f.
Soit la famille dénombrable constituée des fonctions ψ_NP pour N N^* et P Q[X]. On a démontré que l’adhérence de (au sens de la convergence uniforme) contient toutes les fonctions continues à support compact, et par suite toutes les fonctions de C₀ (R ).

2^e étape. Extraction d’une sous-suite faiblement convergente de formes linéaires.
Pour tout n N et toute fonction f C₀(R), on pose

Alors les Λ_n sont des formes linéaires continues sur l’espace de Banach C₀(R), de norme inférieure ou égale à 1, en effet |Λ_n(f)|≤∥f∥_∞ (vu que μ_n est de masse 1), donc ≤ 1. Ces formes linéaires sont en outre positives : si f ≥ 0 alors Λ_n(f) ≥ 0. f fixée, la suite (Λ_n(f)) est bornée donc possède une sous-suite convergente. Par extraction diagonale, on peut trouver une suite extraite (Λ_nk ) telle que (Λ_nk(f)) converge lorsque k → +∞ pour toutes les fonctions f de la partie dénombrable dense . Montrons alors que (Λ_nk(f)) converge pour toute fonction f C₀ (R ). Il faut pour cela utiliser le critère de Cauchy. Soit f C₀(R) et ε > 0. Il existe g telle que ∥f - g∥_∞ ≤ ε, ce qui entraîne ≤ ε pour tout n. La suite convergente (Λ_nk(g)) est de Cauchy, donc il existe N N tel que, pour tous j, k ≥ N, ≤ ε. On en déduit que ≤ 3ε, ainsi la suite réelle (Λ_nk(f)) est de Cauchy, donc converge vers une limite que nous notons Λ(f). On voit aisément que l’application Λ ainsi définie est linéaire, positive et continue de norme ≤ 1 (tout cela s’obtient directement par passage à la limite à partir des Λ_nk ).

3^e étape. Pour conclure, on applique le théorème de représentation de Riesz, dont voici un énoncé (références : [R] ou [BP]).

Si Λ est une forme linéaire positive sur C₀(R), alors il existe une (unique) mesure positive finie μ sur R telle que, pour toute fonction f C₀(R), Λ(f) = .

La mesure μ fournie par le théorème de Riesz vérifie bien : ∀f C₀(R), →. On peut vérifier que sa masse est inférieure ou égale à 1 en écrivant par exemple

et en utilisant le fait que ≤ 1 :

Nous cherchons ensuite un critère de compacité pour la convergence étroite des mesures de probabilité. La clé pour cela est la notion de tension d’une famille de mesures, que nous avons déjà rencontrée en lien avec le lemme du portemanteau.

Tout compact de R étant contenu dans un segment, la condition de tension peut s’écrire manière équivalente :

Nous avons déjà observé qu’une suite de mesures de probabilité qui converge étroitement est tendue. Réciproquement, nous avons le :

Théorème de Prokhorov. De toute suite tendue (μ_n) de mesures de probabilité sur R, on peut extraire une sous-suite qui converge étroitement.

N.B. La limite est nécessairement une mesure de probabilité (car la convergence étroite conserve la masse).

Démonstration. Le théorème précédent fournit déjà une sous-suite (μ_nk) qui converge faiblement * vers une mesure positive μ. Grâce à la propriété de tension, on va montrer que μ(R) = 1. On pourra alors conclure à l’aide du lemme du portemanteau que (μ_nk) converge étroitement vers μ. Le seul point restant à prouver est donc la conservation de la masse. On sait déjà que μ(R ) ≤ 1. Soit ε > 0 et K un compact tel que μ_n(K) ≥ 1 - ε pour tout n. Soit ψ une fonction continue à support compact telle que 0 ≤ ψ ≤ 1 sur R et ψ = 1 sur K. On a ≥ μ_nk (K) ≥ 1 - ε, d’où par convergence faible *, ≥ 1 - ε. D’autre part ≤ ∥ψ∥_∞ μ(R) = μ(R), ainsi μ(R) ≥ 1 - ε. Ceci est valable pour tout ε > 0, d’où le résultat. cqfd

Remarque. C’est un théorème très important, et fortement généralisable (on peut remplacer R par un espace métrique complet séparable muni de sa tribu borélienne). Il possède de nombreuses applications, notamment à la construction du mouvement brownien.

7.Fin de la preuve de la version forte du théorème de Lévy

On considère une suite (μ_n) de mesures de probabilité sur R, dont la suite des fonctions caractéristiques ( _n) converge simplement sur R vers une fonction ϕ continue en 0. On veut prouver que ϕ est la fonction caractéristique d’une mesure de probabilité μ et que (μ_n) converge étroitement vers μ. Pour cela, il nous reste essentiellement à montrer que la suite (μ_n) est tendue. Une fois ce point acquis, on obtiendra grâce au théorème de Prokhorov une sous-suite (μ_nk ) convergeant étroitement vers une probabilité μ. On pourra alors écrire ϕ = lim _nk = . Ainsi ϕ sera bien la fonction caractéristique d’une probabilité, et on conclura à l’aide de la version faible du théorème de Lévy que (μ_n) converge étroitement vers μ.

Pour obtenir la tension de la suite (μ_n), on utilise un calcul astucieux :

Démonstration. C’est calculatoire. Le théorème de Fubini nous permet d’écrire

(t)d t	= eitx d td ν(x)
	= d ν(x) = sinc(αx)d ν(x)

(où sinc (x) = sin x⁄x désigne la fonction sinus cardinal et sinc(0) = 1). Par suite,

Or la fonction 1 - sinc est positive sur R et tend vers 1 à l’infini. On intègre donc une fonction proche de 1 au voisinage de + ∞, ce qui explique que cette intégrale permette de contrôler la masse de la mesure ν située loin de l’origine. Concrètement, si α|x| > 2, alors sinc(αx) ≤ 1⁄2, d’où, en exploitant la positivité de la fonction intégrée,

1 - sinc(αx)d ν(x)	≥1 - sinc(αx)d ν(x)
	≥d ν(x) = ν.	cqfd

Nous pouvons maintenant achever la preuve du théorème de Lévy. Observons d’emblée que la limite simple ϕ de la suite ( _n) est une fonction borélienne bornée par 1 sur R (car les _n sont continues et ≤ 1). On souhaite appliquer le lemme aux mesures μ_n. Le théorème de convergence dominée montre que

Il nous reste à exploiter l’hypothèse de continuité de ϕ en 0. Étant donné ε > 0, fixons un α > 0 tel que : |t| ≤ α|1 - ϕ(t)|≤ ε. Il vient alors puis, grâce au lemme, Cette dernière inégalité est vraie pour n assez grand ; quitte à remplacer 2⁄α par un réel A assez grand, on peut supposer qu’elle est vraie aussi pour les petites valeurs de n. Ainsi la suite (μ_n) est tendue. Ceci achève la preuve du théorème de Lévy.

Remarques.

• On pourra observer que la continuité en 0 de la partie réelle de ϕ suffit à conclure, mais c’est anecdotique. Il importe par contre de souligner que cette hypothèse de continuité en 0 est indispensable dans le thérorème de Lévy, comme le montre le contre-exemple suivant. Soit ρ(x)d x une mesure de probabilité à densité sur R. Étalons-la progressivement sur R en posant, pour tout n N^*, d μ_n(x) = ρ()d x, alors les μ_n sont des mesures de probabilité dont les fonctions caractéristiques sont données par _n(t) = (nt). Or (0) = 1 et (u) → 0 quand u → ±∞, donc la suite ( _n ) converge simplement vers la fonction 1_t=0, discontinue en 0. Cette dernière n’est pas une fonction caractéristique et la suite (μ_n) ne converge donc pas étroitement. Signalons néanmoins qu’elle converge faiblement * vers 0 (vérification directe aisée).
• On peut interpréter la version faible du théorème de Lévy comme une simple propriété de continuité : la transformation de Fourier μ et surtout sa réciproque sont des bijections (séquentiellement) continues entre l’ensemble des mesures de probabilité sur R muni de la convergence étroite, et l’ensemble des fonctions caractéristiques muni de la convergence simple (voir la prop. 2 du § 4). La version forte du théorème de Lévy s’interprète quant à elle plutôt comme un théorème de compacité. En effet comme on l’a vu ci-dessus, l’hypothèse de continuité de ϕ = lim _n en 0 entraîne la tension de la suite (μ_n ), ce qui est un critère de compacité pour la convergence étroite.

8.Convergence et compacité faibles dans un espace de Banach

La lecture de ce paragraphe n’est pas nécessaire pour la suite de l’article ; le lecteur peut passer directement au § 9 consacré aux applications du théorème de Lévy.

Le théorème vu au § 6 est un exemple typique de théorème de compacité faible dans un espace de Banach. Un tel résultat s’inscrit dans le cadre général de l’étude des topologies faibles dans les espaces de Banach. Après avoir introduit l’espace des mesures signées, nous donnerons un bref aperçu de ce contexte général, afin de bien situer la portée des raisonnements du § 6.

Rappelons tout de suite que si E désigne un espace de Banach, son dual topologique Eʹ est l’espace des formes linéaires continues sur E, muni de la norme subordonnée  ; c’est aussi un espace de Banach.

8.1.L’espace de Banach des mesures signées sur R

On peut définir des mesures signées sur R (ou sur tout ensemble muni d’une tribu ) simplement en remplaçant, dans la définition usuelle des mesures, la condition μ : → [0,+∞] par μ : → R, et en conservant les autres axiomes (avec convergence absolue des séries qui apparaissent dans la propriété d’additivité dénombrable). Ces mesures signées peuvent donc prendre des valeurs positives et négatives, mais toujours finies.

On démontre que si μ est une mesure signée, il existe deux mesures positives finies μ₊ et μ_- telles que μ = μ₊ - μ_- ; de plus cette décomposition est unique si l’on choisit μ₊ et μ_- de masses minimales (ce que nous ferons systématiquement). Il existe en outre un borélien P ⊂ R (dépendant de μ) tel que, pour tout borélien A de R,

Alors μ₊ est portée par P et μ_- par le complémentaire de P . Pour plus de détails sur ces décompositions dites de Jordan et de Hahn d’une mesure signée, le lecteur pourra consulter les ouvrages [R] ou [Bi].

Les mesures signées sur R forment bien entendu un espace vectoriel, noté (R). Pour toute mesure signée μ, on pose

où ε(x) = 1 sur P et ε(x) = -1 sur R \ P . Le nombre ∥μ∥_{V T} est appelé la variation totale de μ. Il n’est pas difficile de vérifier que c’est bien une norme et que l’espace (R), muni de cette norme de la variation totale, est un espace de Banach.

Remarques.

• Si μ est une mesure de probabilité, on a μ₊ = μ, μ_- = 0 et ∥μ∥_{V T} = μ(R) = 1.
• Si μ est une mesure signée possédant une densité ρ (par rapport à la mesure de Lebesgue), alors μ₊ et μ_- ont pour densités les parties positive et négative de ρ, définies par ρ₊(x) = max(ρ(x),0) et ρ_-(x) = max(-ρ(x),0). De plus, la norme de μ vaut ∥μ∥_{V T} = d x = ∥ρ∥_L¹(R).
  Le lecteur pourra maintenant revenir au théorème de Scheffé évoqué dans l’un des exemples du § 2 et constater qu’en conservant les mêmes hypothèses et la même preuve, on obtient en fait la convergence en norme de la suite des lois : ∥μ_n - μ ∥_{V T} → 0.
• Exercice. Vérifier que la convergence au sens de la norme ∥⋅∥_{V T} entraîne la convergence étroite.
• Toutefois, pour des mesures ayant des atomes, la convergence en norme de la variation totale est beaucoup trop rigide : on a par exemple ∥δ_1⁄n - δ₀∥_{V T} = 2 pour tout n.

Nous avons déjà vu comment associer à une mesure finie μ (éventuellement signée) une forme linéaire continue Λ_μ sur l’espace C₀(R), en posant :

On peut démontrer que = ∥μ∥_{V T}. Réciproquement, si Λ est une forme linéaire continue sur C₀ (R ), alors d’après le théorème de représentation de Riesz (dans sa version pour les mesures signées), il existe une unique mesure signée μ (R) telle que Λ = Λ_μ. Il en résulte que l’application μ Λ_μ est un isomorphisme isométrique entre (R) et le dual de C₀(R), au moyen duquel on identifie ces deux espaces : (R) = ʹ.

8.2.Convergence faible dans un espace de Banach et son dual

Soit E un espace de Banach et Eʹ son dual topologique (Eʹ est l’espace des formes linéaires continues sur E, muni de la norme subordonnée ; c’est aussi un espace de Banach).

Remarque. Si E est un espace de Hilbert, il s’identifie naturellement à son dual (et le crochet est alors le produit scalaire de E) ; les convergences faible et faible * sont alors identiques.

Quelques propriétés simples :

• Il y a unicité de la limite faible/faible * (c’est évident pour la convergence faible * dans Eʹ, un peu moins pour la convergence faible dans E : l’unicité résulte alors du théorème de Hahn-Banach).
• La convergence au sens de la norme dans E ou dans Eʹ (dite convergence forte) implique la convergence faible (*) ; la réciproque est fausse en dimension infinie.
  Voici un contre-exemple : soit H un espace de Hilbert muni d’une base hilbertienne (e_n )_nN . Alors la suite (e_n) converge faiblement vers 0 dans H. En effet, pour tout f H, on a ∥f∥² = ² ; par conséquent → 0. Pourtant (e_n) ne converge pas fortement vers 0 puisque ∥e_n∥ = 1 pour tout n.
• Une suite faiblement (*) convergente dans E ou Eʹ est bornée (au sens de la norme). C’est une application classique du théorème de Banach-Steinhaus.

Les convergences faible et faible * sont associées à des topologies dites faible et faible * sur E et Eʹ. Voir [Br] pour la définition et l’étude de ces topologies.

Cas des mesures. La ≪ convergence faible * des mesures ≫ qui a servi dans la preuve du théorème de Lévy est en fait la convergence faible * dans l’espace dual (R) = ʹ :

8.3.Quelques résultats généraux de compacité faible

N.B. L’hypothèse ≪ suite bornée ≫ s’entend au sens de la norme : sup_nN < ∞.

Si l’on applique cette proposition à E = C₀(R), on retrouve exactement le théorème . La preuve de la proposition est d’ailleurs exactement identique à la 2^e étape de celle du théorème , aussi nous ne la répéterons pas.

Pour le lecteur curieux, nous énonçons trois théorèmes qui fournissent les propriétés majeures des topologies faibles. Pour les démonstrations, voir [Br].

Par contre Eʹ tout entier n’est pas métrisable pour la topologie faible * (sauf s’il est de dimension finie).

Théorème de Banach-Alaoglu. Soit E un espace de Banach, alors la boule unité fermée B_Eʹ de Eʹ est compacte pour la topologie faible *.

Ces deux théorèmes redémontrent en particulier la proposition donnée ci-dessus.

Enfin, pour la topologie faible sur E, on a les propriétés suivantes :

Dans l’espace (R), la boule unité fermée (au sens de la norme de la variation totale) est métrisable et compacte pour la topologie faible * d’après les théorèmes ci-dessus (car (R) est le dual de l’espace séparable C₀(R)). Malheureusement le théorème 3 ne fournit pas de distance explicite utilisable en pratique sur la boule B_(R). Toutefois, si l’on se restreint au sous-ensemble de B_{(R )} formé des mesures de probabilité, on peut construire à la main des distances explicites qui métrisent la convergence faible * (ou la convergence étroite, ce qui revient au même dans l’ensemble d’après le lemme du portemanteau), par exemple la distance de Lévy : si μ et ν sont des mesures de probabilité de fonctions de répartition F et G, on pose

(graphiquement, la courbe y = F(x - ε) - ε s’obtient en translatant la courbe de F de ε vers le bas et de ε vers la droite ; de même pour la courbe y = F(x + ε) + ε vers le haut et la gauche ; on cherche le plus petit ε tel que ces deux courbes encadrent celle de G).

Exercice. Vérifier qu’il s’agit bien d’une distance sur l’ensemble et que la convergence au sens de cette distance est la convergence étroite des mesures de probabilité.

9.Applications du théorème de Lévy

9.1.Convergence en loi d’une somme de variables aléatoires indépendantes

Cette propriété d’apparence très simple de la convergence en loi n’est pas du tout évidente à établir directement à partir des définitions. Par contre c’est une conséquence immédiate du théorème de Lévy (dans la version faible) : les suites de fonctions caractéristiques (φ_Xn) et (φ_{Y n}) convergent simplement vers φ_X et φ_Y  ; vu les hypothèses d’indépendance, la fonction caractéristique de X_n + Y _n est

On voit donc que φ_{Xn+Y n} converge simplement vers φ_Xφ_Y = φ_X+Y , et on en déduit que X_n + Y _n +Y .

Remarque. En termes de mesures, on vient de démontrer que si (μ_n) et (ν_n) sont des suites de mesures de probabilité convergeant étroitement vers μ et ν, alors la suite des convolées (μ_n * ν_n) converge étroitement vers μ * ν.

Ce premier résultat, aussi simple soit-il, nous permet de mettre d’emblée le doigt sur une vaste classe d’applications du théorème de Lévy : l’étude de la convergence de sommes de variables aléatoires indépendantes. En effet, la loi (ou la fonction de répartition) d’une telle somme est souvent difficile voire impossible à calculer, tandis que sa fonction caractéristique s’obtient en faisant un simple produit, ce qui rend le théorème de Lévy extrêmement efficace dans ce cadre. La même idée est à la base de la démonstration du théorème central limite.

9.2.Le théorème central limite

Théorème central limite. Soit (X_n) une suite de v.a.r. indépendantes et identiquement distribuées, centrées et de variance finie σ². Alors (X₁ + ... + X_n)⁄ converge en loi vers une loi normale centrée de variance σ² :

Démonstration. Elle consiste à calculer la fonction de répartition de la variable aléatoire Z_n = (X₁ + ... + X_n)⁄ et sa limite quand n → +∞ (à l’aide d’un développement limité) afin d’appliquer le théorème de Lévy.

Notons φ la fonction caractéristique commune des X_n. Les X_n admettant un moment d’ordre 2, on peut appliquer le théorème de dérivation sous le signe intégrale à

si bien que φ est de classe C² et vérifie φʹ(0) = iE = 0, φʹʹ(0) = -E = -σ². On a donc, au voisinage de t = 0 : φ(t) = 1 - σ²t²⁄2 + o(t²).

La fonction caractéristique de Z_n se calcule grâce à l’hypothèse d’indépendance :

On fait tendre n vers + ∞ (à t fixé) : (noter que φ_Zn (t) C ; la justification de ce passage à la limite est un exercice taupinal sur l’exponentielle complexe que nous laissons au lecteur). La limite ainsi obtenue est la fonction caractéristique associée à la loi normale (0,σ²), d’où le résultat, en vertu de la version faible du théorème de Lévy. cqfd

Commentaire. Le théorème central limite est bien entendu un résultat fondamental de la théorie des probabilités et des statistiques ; nous renvoyons le lecteur désireux d’en savoir plus à tout bon ouvrage traitant de ces sujets (par exemple [BL], [Bi] ou [D]).

9.3.Le critère de Polya

Nous présentons maintenant quelques applications de la version forte du théorème de Lévy. Le principal intérêt de celle-ci réside dans l’étude de la classe des fonctions caractéristiques de mesures de probabilité. Le théorème de Lévy affirme essentiellement que cette classe est close par convergence simple parmi les fonctions continues en 0.

Le critère de Polya que voici fournit une condition suffisante simple d’appartenance à cette classe.

Théorème (critère de Polya). Toute fonction g : R → R continue, paire, dont la restriction à R₊ est convexe et décroissante, et telle que g(0) = 1, lim_+∞g = 0, est la fonction caractéristique d’une mesure de probabilité sur R.

Exemples simples connus : soit λ > 0,

• ϕ(t) = e^-λ : c’est la fonction caractéristique de la loi de Cauchy de paramètre λ, i.e. la loi à densité ⋅ sur R.
• ψ(t) = ⁺ (fonction triangle) : c’est la fonction caractéristique de la loi à densité d x.

Démonstration du critère de Polya.

Montrons d’abord que le résultat est vrai si l’on suppose en plus que g est affine par morceaux et à support compact. Une telle fonction est combinaison convexe de fonctions triangles : g = α₁ ψ₁ + + α_kψ_k, avec ψ₁,…,ψ_k des fonctions triangles de hauteur 1 et de largeurs convenables et α₁ ,…,α_k des réels positifs de somme 1 (graphiquement : on prolonge les deux segments extrêmes du graphe de g jusqu’à leur point d’intersection situé sur l’axe des ordonnées, ceci donne le premier triangle α₁ψ₁ ; puis on retranche cette fonction à g, le reste est positif par convexité et on réitère ce procédé pour chaque segment restant). Les ψ_j sont des fonctions caractéristiques, alors g en est une aussi (cela découle du fait que l’ensemble des mesures de probabilité est stable par combinaison convexe, et de la linéarité de la transformation de Fourier μ ).

Exercice. Étant donné des v.a.r. X₁,…,X_k, construire explicitement une v.a. Y telle que φ_Y = α₁ φ_X1 + + α_kφ_Xk.
Indication : introduire une variable N indépendante des X_j et prenant les valeurs 1,…,k avec les probabilités α₁ , … ,α_k.

Passons ensuite au cas général. Soit g une fonction vérifiant les hypothèses du critère de Polya. Alors on peut construire sans peine une suite (g_n) de fonctions affines par morceaux à support compact, vérifiant ces mêmes hypothèses, et qui converge simplement (même uniformément) vers g sur R. D’après ce qui précède, chaque g_n est la fonction caractéristique d’une v.a.r. X_n. Comme g est continue en 0, le théorème de Lévy montre que g = lim g_n est une fonction caractéristique (d’une v.a. X et que X_n tend en loi vers X). □

Exemple. Soit λ > 0 et α ]0,1[, alors h(t) = e^-λα est une fonction caractéristique d’après le critère de Polya.
C’est vrai aussi pour α = 2 (fonction caractéristique d’une loi normale centrée).

Exercice. Montrer qu’en fait h est une fonction caractéristique pour tout α ]0,2] en procédant comme suit :

a. Trouver une v.a. X dont la fonction caractéristique est φ_X = cos. Montrer que, quel que soit n N , (cos )ⁿ est une fonction caractéristique.

b. Soit (a_n ) une suite de réels positifs de somme égale à 1. Montrer que la fonction

est une fonction caractéristique.

c. En déduire qu’il existe une v.a. Y dont la fonction caractéristique est donnée par l’égalité φ_Y (t) = 1 - (1 - cost)^α⁄2.

d. Trouver une suite (b_n) de réels strictement positifs telle que, pour tout t R,

et conclure.

Pour α > 2, la fonction h n’est pas une fonction caractéristique (en effet elle vérifie dans ce cas hʹʹ (0) = 0 ; s’il existait une v.a. Z telle que h = φ_Z, on aurait E = 0 d’après un exercice du § 3, d’où une contradiction).

Remarque. l’aide du critère de Polya, il est facile de se convaincre qu’il existe des v.a. X et Y n’ayant pas la même loi, mais telles que φ_X = φ_Y sur un intervalle [-A,A] arbitrairement large.

9.4.Le théorème de Bochner

Le remarquable résultat suivant donne une caractérisation simple des fonctions de R dans C qui sont des fonctions caractéristiques de v.a.r. (i.e. des transformées de Fourier de mesures de probabilité sur R ).

Théorème de Bochner. Une fonction ϕ : R → C est la fonction caractéristique d’une variable aléatoire réelle si et seulement si elle est définie positive, continue en 0 et vérifie ϕ(0) = 1.

La nécessité de ces conditions est claire : si X est une v.a.r. alors sa fonction caractéristique φ_X vérifie

Afin de faciliter la compréhension de la preuve de l’implication réciproque, nous allons d’abord nous pencher sur l’analogue périodique du théorème de Bochner. Nous noterons T = R⁄2πZ le tore de dimension 1 (qu’on peut voir aussi comme le cercle unité de C via la bijection e^iθ ↔ θ T) et nous assimilerons les fonctions 2π-périodiques à des fonctions définies sur T. Les coefficients de Fourier d’une fonction f L¹(T) ou d’une mesure borélienne finie μ sur T sont définis par le cas d’une fonction se ramenant à celui d’une mesure en identifiant f à la mesure signée de densité f par rapport à la mesure de Lebesgue normalisée d x⁄2π sur T. Voici l’analogue périodique du théorème de Bochner :

Théorème d’Herglotz. Une suite (a_n)_nZ de nombres complexes est la suite des coefficients de Fourier d’une mesure de probabilité μ sur T si et seulement si a₀ = 1 et si la suite est définie positive, c’est-à-dire

Démonstration. La nécessité de la condition se vérifie comme précédemment. Réciproquement, soit (a_n )_nZ une suite définie positive telle que a₀ = 1. On définit, pour tous N N^* et x R, en choisissant λ_n = e^inx (0 ≤ n < N),

Cette double somme se simplifie en ainsi σ_N est formellement une somme de Fejer associée à la série de Fourier a_qe^iqx. On a de plus Les fonctions σ_N sont continues, positives et d’intégrale 1 sur T. On les voit comme des mesures à densité μ_N définies par d μ_N(x) = σ_N(x)d x⁄2π. D’après le théorème 2 (ou plutôt son analogue périodique dans l’espace (T) des mesures sur T), on peut extraire de la famille (μ_N ) une suite (μ_Nk)_kN qui converge faiblement * vers μ, mesure positive sur T, c’est-à-dire : pour toute fonction f C⁰(T), →. Comme T est compact, les convergences étroite, faible * et vague des mesures sur T sont identiques ; en particulier on peut prendre f = 1 et constater que μ est une mesure de probabilité, c’est-à-dire que μ(T) = limμ_Nk(T) = 1. Prenons ensuite f : xe^-iqx (avec q Z), alors or Ainsi la suite (a_q ) est la suite des coefficients de Fourier de μ. cqfd

Commentaire. Voici les idées qui ont conduit à cette preuve. Si μ est une mesure de probabilité sur T, les sommes de Fejer associées à la série de Fourier de μ, qui sont définies par l’égalité σ_N,μ (x) = (1 -|q|⁄N)c_q(μ)e^iqx, sont positives sur T. En effet on les obtient en effectuant la convolution de μ avec le noyau de Fejer K_N, qui est notoirement positif :

De plus il n’est pas difficile de se convaincre que σ_N,μ (vue comme une mesure positive sur T) converge étroitement vers μ lorsque N → +∞.

Ces observations élémentaires éclairent la démonstration effectuée ci-dessus : on ne disposait pas de la mesure μ au départ, mais on a pu définir à partir de ϕ les sommes de Fejer σ_N associées à la mesure cherchée, établir leur positivité grâce au caractère défini positif de ϕ et conclure à l’aide d’un argument de compacité (attendu que μ est censée être la limite des σ_N ).

Ces idées peuvent être transposées au cas non périodique, aussi nous suivrons la même démarche pour la preuve du théorème de Bochner, mais il y aura diverses complications techniques provenant du fait que les groupes additifs T (compact) et Z (discret) sont remplacés par R (ni compact ni discret).

Soit donc ϕ : R → C une fonction définie positive, continue en 0 et telle que ϕ(0) = 1. Il convient d’établir d’abord quelques propriétés élémentaires de ϕ.

• En prenant dans l’inégalité () de la définition, N = 2, t₀ = 0, t₁ = t R, λ₀ = 1 et λ₁ = 1 puis λ₁ = i, on montre d’abord que ϕ(-t) = ϕ(t), puis en prenant λ₁ = -e^{-iarg ϕ(t)}, on obtient |ϕ(t)|≤ ϕ(0) = 1.
• Maintenant, l’hypothèse () signifie que la matrice (ϕ(t_n-t_p))_0≤n,p<N est hermitienne positive. Prenons N = 3, (t₀,t₁,t₂) = (0,t,s), la matrice a donc un déterminant positif. En exprimant ce déterminant et en utilisant le fait que ϕ est bornée par 1, on obtient après trois lignes de calcul l’inégalité

  Avec l’hypothèse de continuité en 0, on en déduit que ϕ est (uniformément) continue sur R .

Maintenant nous reprenons l’idée ayant servi à prouver le théorème d’Herglotz : raisonner sur des ≪sommes de Fejer ≫. Posons, pour T > 0 et x R,

Il s’agit de prouver que σ_T est une fonction positive et intégrable sur R. On considérera alors les mesures de probabilité à densité d μ_T(x) = σ_T(x)d x, avant de démontrer que _T(t) = (1 - |t|⁄T)⁺ϕ(t), de sorte que _T convergera simplement vers ϕ lorsque T → +∞, et on conclura en appliquant le théorème de Lévy (qui sert ici d’argument de compacité).

1^ère étape. Commençons par la positivité de σ_T. Soit N N^*, posons t_n = nT⁄N et λ_n = e^-it_nx (0 ≤ n < N). L’hypothèse () s’écrit alors

c’est-à-dire, en réarrangeant la somme, Si on multiplie par T⁄N², on reconnaît une somme de Riemann qui, lorsque N → +∞, converge vers 2πσ_T (x) et on obtient bien la positivité de σ_T(x).

2^e étape. Nous devons maintenant établir l’intégrabilité de σ_T. Le calcul direct de l’intégrale de σ_T sur R n’aboutit pas ; il faut faire une troncature. Intégrer sur un segment [-a,a] n’aboutit pas non plus, il faut être plus subtil. Considérons, pour a > 0 (grand),

(on utilise ici une troncature par une gaussienne ; toute autre fonction positive intégrable, à transformée de Fourier positive et intégrable, aurait fait l’affaire). Grâce à la troncature, le théorème de Fubini est applicable à I(a,T) :

I(a,T)	= |t|≤T, xRe-x2⁄a2 ϕ(t)e-itx d td x
	= ϕ(t)  d t.

L’intégrale désignée par l’accolade est la transformée de Fourier de la gaussienne, égale à aG(at), où G(t) = e^-t2⁄4 . Lorsque a → +∞, la fonction taG(at) reste positive et d’intégrale 2π, mais sa masse se concentre au voisinage de l’origine. On en déduit classiquement (par exemple par changement de variable u = at et convergence dominée) que, pour toute fonction h continue et bornée sur R ,

En particulier, avec h(t) = (1 -|t|⁄T)⁺ϕ(t), la limite quand a → +∞ de I(a,T) vaut 1. Le théorème de convergence monotone nous permet alors d’obtenir : ce qui prouve que σ_T L¹(R).

3^e étape. Nous pouvons maintenant conclure. Par définition, σ_T est la transformée de Fourier inverse de h(t) = (1 -|t|⁄T)⁺ϕ(t) ; ces deux fonctions étant continues et intégrables sur R, le théorème d’inversion de Fourier est applicable : la transformée de Fourier de σ_T est h.
En résumé, σ_T est positive et d’intégrale égale à 1. Elle s’identifie donc à une mesure à densité μ_T , dont la fonction caractéristique est (1 -|t|⁄T)⁺ϕ(t). Celle-ci converge simplement vers ϕ sur R lorsque T → +∞ et ϕ est continue en 0. Le théorème de Lévy entraîne alors la convergence étroite de μ_T vers une mesure de probabilité μ vérifiant = ϕ. cqfd

Réf. La preuve du théorème d’Herglotz donnée ci-dessus est issue de [K], où l’on trouvera aussi une preuve du théorème de Bochner par discrétisation.

Commentaire. Comme on peut s’en douter, le théorème de Bochner n’est pas un critère pratique pour vérifier si une fonction donnée est une fonction caractéristique. Il possède néanmoins des applications importantes, notamment à l’étude des processus stochastiques stationnaires, comme le suggère l’exercice suivant.

Exercice. Soit (X_t)_tR une famille de v.a.r. admettant un moment d’ordre 2. On suppose que pour tout (t, h) R ² , la fonction de covariance ϕ(h) = Cov(X_t,X_t+h) ne dépend que de h (propriété de stationnarité). Vérifier qu’alors ϕ est définie positive.

10.Compléments divers

10.1. propos de la convergence en loi

Dans l’esprit du lemme du portemanteau (voir § 4) et avec des arguments du même acabit, on démontre les caractérisations suivantes de la convergence étroite des mesures de probabilité (voir [D] pour une preuve détaillée).

N.B. Cette proposition peut se formuler aussi avec des variables aléatoires X_n et X. Par exemple (i) ⇔ (iv) devient : (X_n) converge en loi vers X si et seulement si pour tout borélien A tel que P = 0, on a limP = P.

Un exposé sur la convergence en loi ne saurait être complet sans évoquer le remarquable théorème de Skorokhod.

Théorème de Skorokhod. Soit (X_n) une suite de v.a.r. qui converge en loi vers une v.a.r. X. Il existe un espace probabilisé (Ωʹ,ʹ,Pʹ) et des v.a.r. Y _n, Y définies sur cet espace telles que : pour tout n N , Y _n a même loi que X_n, Y a même loi que X, et la suite (Y _n) converge presque sûrement vers Y .

Voici les grandes lignes de la preuve de ce théorème. Elle repose sur le lemme suivant, intéressant en lui-même.

Dans le cas où F est une bijection continue et croissante de R sur ]0,1[, la fonction G est sa bijection réciproque F^-1 et le lemme est évident : pour tout x R, P = P = F(x), donc G(U) a la même fonction de répartition que X. Dans le cas où F n’est pas bijective, la définition de G permet de montrer qu’on a encore

(à l’aide de la continuité à droite de F ), et on conclut de même.

Remarque. Ce raisonnement montre un résultat un peu plus fort : toute fonction F , de R vers [0,1] croissante, continue à droite et tendant vers 0 et 1 en -∞ et + ∞ est la fonction de répartition d’une v.a.r. (à savoir de G(U)).

Pour démontrer le théorème de Skorokhod, on définit G_n, G comme dans le lemme à partir des fonctions de répartition F_n et F des X_n et X, et on pose Y _n = G_n(U), Y = G(U) (où la variable aléatoire U suit la loi uniforme sur ]0,1[, définie sur un espace probabilisé Ωʹ quelconque). Alors Y _n et Y ont les mêmes lois que X_n et X ; on montre par ailleurs que la suite de fonctions (G_n ) converge simplement vers G en tout point de continuité de G. Ces derniers forment un ensemble C de complémentaire au plus dénombrable (car G est croissante), donc Pʹ(U C) = 1 et par suite G_n(U) → G(U) Pʹ-presque sûrement. Voir [Bi] pour les détails de la preuve.

Exercice. l’aide du théorème de Skorokhod, démontrer la proposition .

10.2.Extension à R^d

On étudie dans ce paragraphe la situation où les v.a.r. X_n sont remplacées par des vecteurs aléatoires à valeurs dans R^d, X_n = (X_n,1,…,X_n,d) : (Ω, ,P) → R^d (ce qui revient à remplacer les μ_n par des mesures de probabilité sur R^d).

La définition A (ou A’) de la convergence en loi s’étend immédiatement à une suite (X_n) de vecteurs aléatoires dans R^d : cette suite converge vers un vecteur aléatoire X si pour toute fonction f continue et bornée sur R^d, E → E. La définition de la fonction caractéristique s’étend aussi au cas d’un vecteur aléatoire X = (X₁,…,X_d) :

Les résultats des paragraphes 3, 4, 6, 7, 8.1, notamment le lemme du portemanteau et les deux versions du théorème de Lévy, ainsi que le théorème central limite, restent valables pour des vecteurs aléatoires, avec des démonstrations essentiellement inchangées.

En ce qui concerne l’approche par les fonctions de répartition, elle peut aussi se généraliser à R^d, mais c’est globalement moins agréable qu’en dimension 1. La fonction de répartition F_X d’un vecteur aléatoire X dans R^d est définie par

Elle caractérise la loi de X. L’équivalence des deux définitions A et B de la convergence en loi reste valable pour des vecteurs aléatoires ; le théorème de Helly s’étend lui aussi, ainsi que la preuve du théorème de Lévy esquissée à la fin du § 5 (voir [Bi]).

Enfin le théorème de Skorokhod reste valable lui aussi pour des suites de vecteurs aléatoires. Toutefois la démonstration que nous avons indiquée plus haut ne fonctionne plus ; la preuve en dimension d > 1, par une toute autre approche, est nettement plus compliquée (voir [Bi2]).

Annexe. Fonctions caractéristiques des lois de probabilité usuelles

Remarque. Pour les variables discrètes X dont la fonction génératrice G_X(s) = E est une série entière de rayon de convergence > 1 (c’est le cas des lois usuelles ci-dessus), la fonction caractéristique s’obtient simplement par la relation φ_X(t) = G_X(e^it).

Bibliographie

[Bi]

P. Billingsley, Probability and Measure, 3^e éd. Wiley, 1995.

[Bi2]

P. Billingsley, Convergence of Probability Measures, 2^e éd. Wiley, 1999.

[BL]

Ph. Barbe, M. Ledoux, Probabilité, 2^e éd. EDP Sciences, 2007.

[BP]

M. Briane, G. Pagès, Théorie de l’intégration, 4^e éd. Vuibert, 2006.

[Br]

H. Brézis, Analyse fonctionnelle : théorie et applications. Dunod, 1999.

[D]

R. Durrett, Probability : Theory and Examples, 4^e éd. Cambridge University Press, 2010.

[K]

Y. Katznelson, An Introduction to Harmonic Analysis, 3^e éd. Cambridge University Press, 2004.

[R]

W. Rudin, Real and Complex Analysis, 3^e éd. McGraw-Hill, 1987.

Ω
[Table des matières]