a) On suppose que G possède un nombre fini de sous-groupes. Montrer que G est fini.
b) Le résultat de la question précédente subsiste-t-il en remplaçant ≪ fini ≫ par ≪dénombrable ≫ ?
Solution de Noé Weeks, élève au lycée Louis-le-Grand
On note gr (x) le sous-groupe de G engendré par un élément x de G.
a) Si x 
G, alors x est d’ordre fini, sinon G contiendrait le sous-groupe gr(x), isomorphe à Z, qui
contient une infinité de sous-groupes. On écrit alors G = ⋃
x
Ggr(x). Comme il y a un nombre fini
de sous-groupes, on peut prendre x1,…,xn dans G tels que G = ⋃
gr(xi). Donc G est
fini.
b) Le résultat subsiste. On remarque en effet que l’on dispose d’une suite (xn)n≥1 telle que
G = ⋃
gr(xn), et donc que G est dénombrable !
[Liste des corrigés]