15. Les sous-groupes stricts de (Q,+) sont-ils monogènes ?

Solution de Flavien Mabilat

La réponse est NON. Nous avons reçu plusieurs réponses, listées ci-après, dont certaines apportent certains éclairages. On va étudier le contre-exemple

    {               }
H =   p-,(p,q) ∈ Z × N .
      2q
Vérifions que H est un sous-groupe de (Q,+). Il est nécessaire et suffisant de prouver la propriété suivante : pour tout (x,y) ∈ H2 l’élément x - y appartient à H. Cela est immédiat : en écrivant x = p2q et y = P2Q alors
        p   P    p2Q - P 2q
x- y = 2q - 2Q-= --2q+Q---.

Par ailleurs, H est un sous-groupe strict de Q puisque 13 n’appartient pas à H.

Il s’agit maintenant de prouver que H n’est pas monogène. Supposons par l’absurde H engendré par p2q. En particulier, pour tout n ∈ N, l’élément 12n ∈ H s’écrit sous la forme 12n- = pk2nq avec kn ∈ Z . On a ainsi 2q-n = pkn. Pour n assez grand, on a |pkn| < 1, c’est-à-dire pkn = 0 ou encore 2q-n = 0. Contradiction.

Une solution similaire a été obtenue par Laurent Dietrich et Simon Billouet (réponse conjointe), François Capacès et Lionel Ponton.

Une réponse originale a été reçue par Noé Weeks, à savoir le sous-groupe

     {   p              }
H0 =   -----,(p,q) ∈ Z × N .
       2q+ 1

Signalons que H0 est un anneau intermédiaire entre Z et Q construit par la méthode dite de localisation de Z par rapport à la partie multiplicative 2Z + 1. Autrement dit, on a considéré le plus petit sur-anneau de Z qui rend tout entier impair inversible (la construction du corps des fractions d’un anneau intègre est un cas particulier de la méthode de localisation).

ric Pité, Nguyên Hai Châu, Julien Bureaux ont également résolu cet exercice en remarquant que le sous-groupe des nombres décimaux constitue un contre-exemple. David Alexander montre, avec les mêmes arguments, l’alternative suivante pour un sous-groupe de (Q,+) :

  • ou bien il est monogène,
  • ou bien il n’est pas de type fini (c’est-à-dire qu’aucun système de générateur n’est fini).

Signalons enfin deux points de vue topologiques :

Maxime Bourrigan remarque que le sous-groupe H donné ci-dessus n’est autre que le sous-anneau Z [12]. Il ne peut pas être monogène, c’est-à-dire de la forme Zα (avec α ∈ Q ) car l’élément neutre 0 est manifestement isolé dans un sous-groupe monogène. Or la suite (2-n )n∈N de Z[1
2] tend vers 0 en prenant une infinité de valeurs distinctes.

Enguerrand Moulinier invoque un argument moins élémentaire, mais classique, à savoir qu’un sous-groupe de (Q,+) est, en tant que sous-groupe de (R,+), soit dense dans R soit monogène. Enfin, il est classique que le sous-groupe des nombres diadyques (ou décimaux) est dense dans R (donc non monogène).


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